轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(解析版)

2023-11-19 · 58页 · 1.9 M

轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型【考点预测】求离心率范围的方法一、建立不等式法:1、利用曲线的范围建立不等关系.x2y22、利用线段长度的大小建立不等关系.F,F为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的12a2b2x2y2任意一点,PF∈a-c,a+c;F,F为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的112a2b2任一点,PF1≥c-a.x2y23、利用角度长度的大小建立不等关系.F,F为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上的动点,若12a2b2θ∠FPF=θ,则椭圆离心率e的取值范围为sin≤e<1.1224、利用题目不等关系建立不等关系.5、利用判别式建立不等关系.6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.7、利用基本不等式,建立不等关系.二、函数法:1、根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式;2、通过确定函数的定义域;3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围.三、坐标法:由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系.【题型归纳目录】题型一:建立关于a和c的一次或二次方程与不等式题型二:圆锥曲线第一定义题型三:圆锥曲线第二定义题型四:圆锥曲线第三定义(斜率之积)题型五:利用数形结合求解题型六:利用正弦定理题型七:利用余弦定理题型八:内切圆问题题型九:椭圆与双曲线共焦点题型十:利用最大顶角θ题型十一:基本不等式题型十二:已知PF1⋅PF2范围题型十三:PF1=λPF2题型十四:中点弦题型十五:已知焦点三角形两底角题型十六:利用渐近线的斜率题型十七:坐标法题型十八:利用焦半径的取值范围题型十九:四心问题【典例例题】题型一:建立关于a和c的一次或二次方程与不等式x2y2例1.(2022·全国·高三专题练习)如图所示,已知双曲线C:-=1a>0,b>0的右焦点为F,双曲线Ca2b2的右支上一点A,它关于原点O的对称点为B,满足∠AFB=120°,且BF=2AF,则双曲线C的离心率是________.【答案】3【解析】设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF,由条件可得BF-AF=AF-AF=2AF-AF=2a,则AF=2a,BF=4a,∠FAF=60°,所以FF2=AF2+AF2-2AF⋅AF⋅cos∠FAF,1即4c2=16a2+4a2-16a2×,2即4c2=12a2,c=3ac所以双曲线的离心率为:e==3,a故答案为3.x2y2例2.(2022·四川·高三阶段练习(理))已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F,F,过a2b212右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A,B两点,若AF1⊥AB,且AB=2AF1,则C的离心率为(    )A.2B.1+2C.3D.1+3【答案】C【解析】如图,设AF1=m,则AF2=m-2a.又AB=2AF1,所以BF2=m+2a,所以BF1=m+4a.又AF1⊥AB,所以BF1=5m,由m+4a=5m,得2m=5+1a=AF1,则AF2=m-2a=5-1a,而F1F2=2c,则4c=22c5+1a2+5-1a2,化简得c2=3a2,所以e==3.ax2y2例3.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F作直a2b2121线l与C的左、右两支分别交于M,N两点,且△MNF2是以∠MNF2为顶角的等腰直角三角形,若C的离心率为e,则e2=(    )A.5+33B.5+32C.5+22D.5+23【答案】C【解析】设|MN|=|NF2|=m,|MF2|=2m,由双曲线的定义得|MF1|=2m-2a,又|NF1|-|NF2|=2a,∴m+2m-2a-m=2a,∴m=22a.222又|NF1|+|NF2|=|F1F2|,所以(22a+2a)2+(22a)2=4c2,c2所以=5+22,∴e2=5+22.a2故选:Cy2例4.(2022·甘肃·瓜州一中高三期中(文))若m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2+=1的离心率是(    )m3335A.或5B.5C.D.或2222【答案】A【解析】∵m是2和8的等比中项,∴m=4或m=-4,y2当m=4时,方程为x2+=1,表示椭圆,43∴a=2,b=1,c=a2-b2=3,∴离心率为,2y2当m=-4时,方程为x2-=1,表示双曲线,4∴a=1,b=2,c=a2+b2=5,∴离心率为5,故选:Ax2y2例5.(2022·江西·高三开学考试(文))设椭圆C:+=1a>b>0的左、右焦点分别为F,F,点M,N在a2b212C上(M位于第一象限),且点M,N关于原点O对称,若MN=F1F2,22MF2=NF2,则C的离心率为(    )2162-332-3A.B.C.D.4277【答案】C【解析】依题意作下图,由于MN=F1F2,并且线段MN,F1F2互相平分,π∴四边形MFNF是矩形,其中∠FMF=,NF=MF,1212212设MF2=x,则MF1=2a-x,222222根据勾股定理,MF1+MF2=F1F2,2a-x+x=4c,整理得x2-2ax+2b2=0,由于点M在第一象限,x=a-a2-2b2,22由22MF2=NF2,得MN=3MF2,即3a-a-2b=2c,62-3整理得7c2+6ac-9a2=0,即7e2+6e-9=0,解得e=.7故选:C.题型二:圆锥曲线第一定义x2y2例6.(2022·重庆八中高三开学考试(理))设椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点Aa2b2(-c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为()1111211A.,1B.,C.,D.,2322354【答案】D【解析】如图:设椭圆的另一个焦点为F1(-c,0),因为|PF1|≤|PA|+|AF1|,所以2a=|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|=c+9c=10c由|PF1|≥|PA|-|AF1|,所以2a=|PF1|+|PF|≥|PA|-|AF1|+|PF|=9c-c=8c,所以8c≤2a≤10c,即4c≤a≤5c,11所以≤e≤.54b2因为点A在椭圆内,所以c<,所以ac,2411所以≤e≤.54故选:Dx2y2例7.(2022·浙江·高三开学考试)已知F,F分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F的直线与12a2b21C交于P,Q两点,若PF1=2PF2=5F1Q,则C的离心率是(    )3355A.B.C.D.5443【答案】D【解析】由已知,可根据条件做出下图:因为PF1=2PF2=5F1Q,令F1Q=t,5515所以PF=5t,PF=t,由椭圆的定义可知PF+PF=2a=5t+t=t,122122244244424所以t=a,所以PF=a,PF=a,FQ=a,PQ=PF+FQ=a+a=a,151323115113151526由椭圆的定义可知QF+QF=2a⇒QF=a,12215π在△PQF中,QF2=QP2+PF2,所以∠QPF=,22222222在△PF1F2中,F1F2=2c,所以F1F2=F1P+PF2164c25c5所以a2+a2=4c2⇒=⇒e==.99a29a35所以C的离心率是.3故选:D.y2例8.(2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习)设双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F,F,b212P是C上一点,且F1P⊥F2P,若△PF1F2的面积为4,则双曲线C的离心率为(    )A.2B.2C.3D.5【答案】Dy2【解析】由题意,双曲线C:x2-=1,可知a=1,b2设PF2=m,PF1=n,可得m-n=2,1又因为FP⊥FP,若△PFF的面积为4,所以mn=4,且m2+n2=4c2,12122c联立方程组,可得c2=5,所以双曲线的离心率为e==5.a故选:D.x2y2例9.(2022·贵州贵阳·高三开学考试(理))已知双曲线C:-=1(a>0)的左焦点为F(-c,0),点P在双a25曲线C的右支上,A(0,4).若|PA|+|PF|的最小值是9,则双曲线C的离心率是_____.3【答案】2【解析】设双曲线的右焦点为F,x2y2双曲线-=1的b=5,a25则c=a2+5,可得F(-c,0),F(c,0),由双曲线的定义可得|PF|-|PF|=2a,可得|PF|=2a+|PF|,则|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+2a≥2a+|AF|,当A,P,F共线时,取得等号.2a+|AF|=2a+(0-c)2+(4-0)2=9,则2a+a2+21=9整理得:a2-12a+20=0解得a=2或a=10,由于2a+a2+21=9,则0<2a<9,故a=10不符合所以a=2,c=3c3则双曲线的离心率为e==.a23故答案为:.2x2y2例10.(2022·全国·高三专题练习)已知F,F分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以FF12a2b2122为直径的圆与双曲线C有一个交点P,设△PF1F2的面积为S,若PF1+PF2=12S,则双曲线C的离心率为(    )6A.2B.C.2D.222【答案】C2222【解析】依题意,PF1⊥PF2,令F1(-c,0),F2(c,0),则有|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4c,2222由(|PF1|+|PF2|)=12S得:|PF1|+|PF2|+2|PF1||PF2|=6|PF1||PF2|,即有|PF1||PF2|=c,c而4a2=(|PF|-|PF|)2=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|=2c2,所以e==2.121212a故选:C题型三:圆锥曲线第二定义例11.(2022·全国·高三专题练习(文))古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性,并给出了圆锥曲线的统一定义,他指出,平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线;当01时,轨迹为双曲线.则方程(x-4)2+y21=表示的圆锥曲线的离心率e等于(    )25-4x5145A.B.C.D.5554【答案】B(x-4)2+y2(x-4)2+y21【解析】因为==,25-4x4x-2554(x-4)2+y24所以=,x-2554254表示点x,y到定点4,0的距离与到定直线x=的距离比为,454所以e=.5故选:Bx2y2例12.(2022·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线-=1(a,b>0)的左、右焦点分别为FF,P为左支a2b212上一点,P到左准线的距离为d,若d、|PF1|、|PF2|成等比数列,则其离心率的取值范围是(    )A.[2,+∞)B.(1,2]C.[1+2,+∞)D.(1,1+2]【答案】D2【解析】∵|PF1|=d⋅|PF2|,|PF1||PF2|∴==e,即|PF2|=e|PF1|⋯①,d|PF1|又|PF2|-|PF1|=2a⋯②.2a2ae由①②解得:|PF|=,|PF|=,1e-12e-1又在焦点三角形F1PF2中:|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,2a(e+1)即:≥2c,即e2-2e-1≤0,e-1解得:1-2≤e≤1+2,又e>1,∴10,b>0的右焦点为F,过F且斜率为3

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