高考数学专题05 以双曲线为情境的中点弦问题（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练05以双曲线为情境的中点弦问题典例分析一、求中点弦所在直线的方程1．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】运用点差法即可求解【详解】由已知得，又，，可得.则双曲线C的方程为.设，，则两式相减得，即.又因为点P恰好是弦的中点，所以，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即.经检验满足题意2．已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.【答案】【分析】将直线方程代入双曲线方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点点坐标，代入圆的方程，即可求得的值．【详解】设点，，，，线段的中点，，由，得（判别式△，，，，点，在圆上，则，故.3．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.【答案】【分析】设，，，，分别代入双曲线方程，两式相减，化简可得：，结合中点坐标公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可求直线方程．【详解】过点的直线与该双曲线交于，两点，设，，，，，两式相减可得：，因为为的中点，，，，则，所以直线的方程为，即为．4．双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.(1)求C的方程；(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得的方程.（2）结合点差法求得直线的斜率，从而求得直线的方程.【解析】(1)因为C的离心率为2，所以，可得.将代入可得，由题设.解得，，，所以C的方程为.(2)设，，则，.因此，即.因为线段AB的中点为，所以，，从而，于是直线AB的方程是.二、求中点弦所在直线的斜率1．直线l交双曲线于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率，再验证作答.【详解】设，，因点A，B在双曲线上，则，，两式相减得：，因P为AB中点，则，，于是得＝1，即直线l的斜率为1，此时，直线l的方程为：，由消去y并整理得：，，即直线l与双曲线交于两点，所以直线l的斜率为1.2．直线与双曲线的同一支相交于两点，线段的中点在直线上，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，设出两点坐标，使用点差法，带入双曲线方程作差，化简即可完成求解.【详解】设、，线段的中点，由已知，两点在双曲线上，所以x122−y12=1x222−y22=1，两式做差可得，点在直线上，所以，代入上式可得，故直线的斜率为.3．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为________．【答案】【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率.【详解】设点、，则，即，由已知条件可得，两个等式作差得，即，即，所以，直线的斜率为.4．已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．(1)求M的虚轴长．(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，2【分析】（1）根据题意得出双曲线方程后求解；（2）中点弦问题，可用点差法，化简后得到斜率，然后代回检验.【解析】(1)因为椭圆的焦点坐标为，所以可设M的方程为．因为M与圆相切，所以，则，故M的虚轴长．(2)由（1）知，M的方程为．设A，B两点的坐标分别为，，则两式相减得，假设存在直线l满足题意．则所以，因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．三、求中点弦的弦长1．已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】首先结合已知条件，利用点差法求出直线的斜率，进而得到直线的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.【详解】不妨设，，从而，，由两式相减可得，，又因为线段AB的中点为，从而，，故，即直线AB的斜率为，直线AB的方程为：，即，将代入可得，，从而，，故.2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则，所以，，则，.弦长|MN|.3．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且双曲线过点．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，线段中点的横坐标为，求线段的长．【答案】(1)；(2).【分析】（1）设双曲线：，根据题意可得、、，解方程组求得的值即可得双曲线的方程；（2）设，，联立直线与双曲线方程，可求出，再由可得的值，由弦长公式即可得线段的长.【解析】(1)设双曲线：，由题意可得：，解得：，所以双曲线的方程为.(2)设，，联立方程，消去得：，因为与有两个交点，所以且，解得：且，所以且①，由根与系数的关系可得：，又因为中点的横坐标为，所以，即，解得：或②，结合①②可知，此时，，，所以，即线段的长为．四、求双曲线的方程1．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】求出直线的方程，并设出双曲线的方程，再联立并借助中点坐标即可计算作答.【详解】直线的方程为：，即，设双曲线的方程为：，由消去y并整理得：，，因弦的中点为，于是得，即，而，解得，满足，所以双曲线的方程为，即.2．若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得，设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.【详解】，，又，，双曲线的渐近线方程为：，即，焦点到渐近线的距离为，即的最小值为b，即，不妨设直线OQ为：，，点，，的中点为，将其代入双曲线C的方程，得：，即，解得：，又，，，故双曲线C的方程为．3．过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.【答案】【分析】设，，可得，，将两点坐标代入双曲线方程，两式相减整理可得，利用已知点的坐标求出直线的斜率，即可得与的关系，结合即可得、的值，进而可得双曲线方程.【详解】设，，则，，两式相减可得：，所以，因为点是线段的中点，所以，，所以，因为，所以，即，因为，所以，，所以双曲线方程是，中点弦与双曲线的离心率交汇1．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（       ）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.【详解】设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.因为，，所以，，故.2．过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出双曲线的离心率．【详解】设，，，，则①，②，是线段的中点，，，直线的方程是，，过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，①②两式相减可得，即，．3．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．【答案】【分析】解法一，利用点差法，结合，以及，变形得到，再转化为关于的齐次方程，求解；解法二，设直线，，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于的齐次方程，求解.【详解】解法一：由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二 ：由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．方法点拨1：对于有关弦中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.2：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设，为弦端点坐标，为的中点，直线的斜率为，若椭圆方程为，则，若椭圆方程为，则，若双曲线方程为，则，若双曲线方程为，则.巩固练习1．已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设，，则，两式相减得，即，∴.2．已知双曲线，以点为中点的弦所在的直线方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用点差法可求得弦所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】设弦的两个端点坐标分别为、，则，则，两式作差得，所以，弦所在直线的斜率，故所求直线方程为，即.3．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.【详解】设，则，由，可得，则，即，则则双曲线的渐近线的斜率为。4．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为(       )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.【详解】设过点的直线方程为或，①当斜率存在时有，得(*)．当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：，即又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，，即，，使但使，因此当时，方程①无实数解．故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．②当时，经过点的直线不满足条件.综上，符合条件的直线不存在．5．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根据中点弦定理求出直线的斜率，然后求出直线的方程，联立后利用弦长公式求解的长.【详解】设，，则可得方程组：，两式相减得：，即，其中因为的中点为，故，故，即直线的斜率为，故直线的方程为：，联立，解得：，由韦达定理得：，，则。6．过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（       ）A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在【答案】D【解析】【分析】设出点P，Q的坐标，利用“点差法”求出直线l的斜率并求出其方程，再将直线l与双曲线方程联立验证即可得解.【详解】设点，因点是的中点，则，从而有，两式相减得：，即，于是得直线l的斜率为，直线l的方程为：，即，由消去y并整理得：，此时，即方程组无解，所以直线l不存在.7．（多选题）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（       ）A．ba【答案】CD【分析】根据M（1，1）是AB的中点，且斜率为2，利用点差法求解.【详解】设，则，两式相减得，化简得，因为M（1，1）是AB的中点，所以，即，所以，渐近线方程为，离心率为，8．（