玩转外接球 内切球 棱切球

2023-11-19 · 60页 · 3.7 M

玩转外接球、内切球、棱切球【考点预测】知识点一:正方体、长方体外接球1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.PA(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=,如图3所示.2(4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示图1图2图3图4知识点二:正四面体外接球2如图,设正四面体ABCD的的棱长为a,将其放入正方体中,则正方体的棱长为a,显然正四面体和正2236方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=a⋅=a,即正四面体外接球半径为R=2246a.4知识点三:对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD中,AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题.b2+c2=m2m2+n2+t2如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则a2+c2=n2,三式相加可得a2+b2+c2=,而显2a2+b2=t2222Ra2+b2+c2=4R2R=m+n+t然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为,则,所以8.知识点四:直棱柱外接球如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步:确定球心O的位置,O1是ΔABC的外心,则OO1⊥平面ABC;11第二步:算出小圆O的半径AO=r,OO=AA=h(AA=h也是圆柱的高);1112121222222h22h第三步:勾股定理:OA=OA+OO⇒R=+r⇒R=r+,解出R1122知识点五:直棱锥外接球如图,PA⊥平面ABC,求外接球半径.解题步骤:第一步:将ΔABC画在小圆面上,A为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心O;第二步:O1为ΔABC的外心,所以OO1⊥平面ABC,算出小圆O1的半径O1D=r(三角形的外接圆直径abc1算法:利用正弦定理,得===2r),OO=PA;sinAsinBsinC12第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)2=PA2+(2r)2⇔2R=PA2+(2r)2;22222②R=r+OO1⇔R=r+OO1.知识点六:正棱锥与侧棱相等模型r2+h21.正棱锥外接球半径:R=.2h2.侧棱相等模型:如图,P的射影是ΔABC的外心⇔三棱锥P-ABC的三条侧棱相等⇔三棱锥P-ABC的底面ΔABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.解题步骤:第一步:确定球心O的位置,取ΔABC的外心O1,则P,O,O1三点共线;第二步:先算出小圆O1的半径AO1=r,再算出棱锥的高PO1=h(也是圆锥的高);r2+h2第三步:勾股定理:OA2=OA2+OO2⇒R2=(h-R)2+r2,解出R=.112h知识点三:侧棱为外接球直径模型方法:找球心,然后作底面的垂线,构造直角三角形.知识点四:共斜边拼接模型如图,在四面体ABCD中,AB⊥AD,CB⊥CD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,BD为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点O为公共斜边BD的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,OA=OC=OB=OD,即点O到A,B,C,D四点的距离相等,故点O就是四面体ABCD外接球的球心,公共的斜边BD就是外接球的一条直径.知识点五:垂面模型如图1所示为四面体P-ABC,已知平面PAB⊥平面ABC,其外接球问题的步骤如下:(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D,则O2D⊥AB.(4)在四棱锥A-DO1OO2中,AD垂直于平面DO1OO2,如图2所示,底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径.图1图2知识点六:最值模型这类问题是综合性问题,方法较多,常见方法有:导数法,基本不等式法,观察法等知识点七:二面角模型如图1所示为四面体P-ABC,已知二面角P-AB-C大小为α,其外接球问题的步骤如下:(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心,分别记为O1和O2.(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线,其交点为球心,记为O.(3)过O1作AB的垂线,垂足记为D,连接O2D,则O2D⊥AB.(4)在四棱锥A-DO1OO2中,AD垂直于平面DO1OO2,如图2所示,底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径.知识点八:坐标法对于一般多面体的外接球,可以建立空间直角坐标系,设球心坐标为O(x,y,z),利用球心到各顶点的距离相等建立方程组,解出球心坐标,从而得到球的半径长.坐标的引入,使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来,转化为向量的计算,大大降低了解题的难度.知识点九:圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图1,设圆锥的高为h,底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△OCB中,由勾股定理建立方程来计算R.如图2,当PC>CB时,球心在圆锥内部;如图3,当PC接球的半径为R,三者之间满足+r2=R2.23.球内接圆台r2-r2-h22R2=r2+21,其中r,r,h分别为圆台的上底面、下底面、高.22h12知识点四:锥体内切球3V方法:等体积法,即R=体积S表面积知识点五:棱切球方法:找切点,找球心,构造直角三角形【题型归纳目录】题型一:正方体、长方体模型题型二:正四面体模型题型三:对棱相等模型题型四:直棱柱模型题型五:直棱锥模型题型六:正棱锥与侧棱相等模型题型七:侧棱为外接球直径模型题型八:共斜边拼接模型题型九:垂面模型题型十:最值模型题型十一:二面角模型题型十二:坐标法模型题型十三:圆锥圆柱圆台模型题型十四:锥体内切球题型十五:棱切球【典例例题】题型一:题型一:正方体、长方体模型例1.(2022·陕西安康·高二期末(理))长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为(       )A.43πB.12πC.48πD.323π【答案】A232+2+12【解析】球O的半径为=3,234π⋅3∴体积V==43π.3故选:A例2.(2022·全国·高一阶段练习)已知三棱锥P-BCD中,BC⊥CD,PB⊥底面BCD,BC=1,PB=CD=2,则该三棱锥的外接球的体积为(       )79A.πB.π422725C.πD.π89【答案】B【解析】解:如图所示,将三棱锥P-BCD放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中,则三棱锥P-BCD的外接球即为该长方本的外接球,所以外接球的直径PD=BC2+CD2+PB2=12+22+22=3,4339∴该球的体积为π×=π.322故选:B32例3.(2022·北京市第三十五中学高一阶段练习)已知正方体外接球的体积是π,那么正方体的体对角3线等于(       )234243A.B.4C.D..333【答案】B【解析】解:正方体外接球的直径即为正方体的体对角线,设外接球的半径为R,432则V=πR3=π,解得R=2,所以正方体的体对角线等于2R=4;33故选:B例4.(2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中)据《九章算术》记载,“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示,现有一个“鳖臑”,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=2,三棱锥外接球表面积为(       )A.10πB.12πC.14πD.16π【答案】B【解析】如图,将三棱锥补形为正方体,PCAP2+AB2+BC24+4+4则外接球半径R====3.222所以三棱锥外接球表面积S=4πR2=4π×3=12π.故选:B.例5.(2022·河北·高一期中)《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P-ABCD,PA⊥平面ABCD,AB=4,△PAD的面积为4,则该“阳马”外接球的表面积的最小值为(       )A.24πB.28πC.32πD.36π【答案】C【解析】如图,将四棱锥P-ABCD补成长方体,则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同.42+AD2+PA2因为长方体外接球的半径r=,2所以该“阳马”外接球的表面积为:4π×r2=AD2+PA2+16π≥(2AD⋅1PA+16)π=4×AD⋅PA+16=4×4+16π=32π.2故选:C.例6.(2022·河南·模拟预测(文))在三棱锥A-BCD中,已知AC⊥平面BCD,BC⊥BD,且AC=3,BC=2,BD=5,则该三棱锥外接球的表面积为(       )A.12πB.7πC.9πD.8π【答案】A【解析】由AC⊥平面BCD,BC⊥BD,知三棱锥A-BCD可补形为以BD,BC,AC为长宽高的长方体,22三棱锥的外接球即长方体的外接球,设外接球的半径为R,则2R=3+4+5=12,所以S球=4πR=12π.故选:A题型二:正四面体模型例7.(2022·全国·高三专题练习(理))棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体,且该正四面体可以在正方体内任意转动,则x的最大值为(          )1336A.aB.aC.aD.a2263【答案】D【解析】a棱长为a的正方体的内切球的半径为,正四面体可以在正方体内任意转动,2只需该正四面体为球的内接正四面体,换言之,棱长为x的正四面体的外接球a的半径为,2设正四面体为P-ABC,过P作PO⊥平面ABC,垂足为O,O为底面正2233236ΔABC的中心,则AO=×x=x,体高为x-x=x,32333a6a232a2由于外接球半径为,利用勾股定理得:x-+x=,解232326得x=a,3选D.例8.(2022·河南·西平县高级中学模拟预测(理))一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的体积为(       )A.6πB.2πC.3πD.22π【答案】A【解析】如图,四面体BDMN是正四面体,棱长BD=2,将其补形成正方体GBCD-MENF,2则正方体GBCD-MENF的棱长GB=BD=2,此正方体的体对角线长为26,正四面体BDMN与正方体GBCD-MENF有相同的外接球,则正四面体BDMN6的外接球半径R=,24463所以正四面体BDMN的外接球体积为V=πR3=π⋅=6π.332故选:A例9.(2022·贵州师大附中高二开学考试(理))已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为(     )A.4πB.6πC.8πD.10π【答案】B【解析】因为正四面体的棱长为2,所以底面三角形的高3,226棱锥的高为h=22-23=,33设外接球半径为R,则2622326R2=-R+,解得R=.33262所以外接球的表面积为S=4πR2=4π=6π.2故选:B.例10.(2022·河北·石家庄二中一模(理))如图所示,正四面体ABCD中,E是棱AD的中点,P是棱AC上一动点,BP+PE的最小值为14,则该正四面体的外接球表面积是(       )A.12πB.32πC.8πD.24π【答案】A【解析】将侧面△ABC和△ACD沿AC边展开成平面图形,如图所示,菱形ABCD,在菱形ABCD中,连接BE,交AC于点P,则BE的长即为BP+PE的最小值,即BE=14,因为正四面体ABCD,所以AC=AB,所以∠BCD=120°,因为E是棱AD的中点,所以∠DCE=30°,所以∠BCE=∠BCD-∠DCE=9

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