五类解三角形题型--新高考数学大题秒杀技巧(解析版)

2023-11-19 · 23页 · 497.9 K

五类解三角形题型解三角形问题一般分为五类:类型1:三角形面积最值问题;类型2:三角形周长定值及最值;类型3:三角形涉及中线长问题;类型4:三角形涉及角平分线问题;类型5:三角形涉及长度最值问题。类型1:面积最值问题技巧:正规方法:面积公式+基本不等式12S=absinC222c①2⇒a+b=2abcosC+c≥2ab⇒ab≤a2+b2−c2=2abcosC21−cosC12S=acsinB222b②2⇒a+c=2accosB+b≥2ac⇒ac≤a2+c2−b2=2accosB21−cosB12S=bcsinA222a③2⇒b+c=2bccosA+a≥2bc⇒bc≤b2+c2−a2=2bccosA21−cosA秒杀方法:在ΔABC中,已知B=θ,AC=x2AB+BC则:S=max⋅sinBΔABCmax822x其中AB+BC=2R⋅m+n+2mncosθm,n分别是BA、BC的系数2R=maxsinθ面积最值问题专项练习2221△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2acosC-b,c+a=b+3ac,b=2.(1)求A;π(2)若M,N在线段BC上且和B,C都不重合,∠MAN=,求△AMN面积的取值范围.32π【答案】(1)333(2),32【详解】(1)由c=2acosC-b得2acosC=c+2b,由正弦定理得2sinAcosC=sinC+2sinB=sinC+2sinA+C=sinC+2sinAcosC+2cosAsinC,所以2cosAsinC+sinC=0,又因为C∈0,π,所以sinC≠0,12π所以cosA=-,又A∈0,π,所以A=,23222222222c+a-b3(2)由c+a=b+3ac,得c+a-b=3ac,由余弦定理知cosB==,又因为B∈0,π,2ac21π所以B=,6π所以C=π-A-B=,所以b=c=2,如图,设∠BAM=α,6π5ππ则∠CAN=-α,∠BMA=-α,∠CNA=+α,362πcsinB2sin61在△ABM中,由正弦定理可知AM===,sin∠BMA5ππsin6-αsin6+απbsinC2sin61在△ANC中,由正弦定理可知AN===,sin∠CNAπcosαsin2+α1111π3故S=AM⋅AN⋅sin∠MAN=⋅⋅⋅sin=△AMN22πcosα3πsinα+64sinα+6cosα3333,==2==23sinα+cosαcosα23sinαcosα+2cosα3sin2α+cos2α+1π2sin2α+6+1πππ5π1π因为α∈0,,所以<2α+<,所以0,所以cosB=,2π因为B∈(0,π),所以B=.3π选②:因为bsinA=acosB-,631由正弦定理得sinBsinA=sinA⋅cosB+sinB,2231又因为A∈(0,π),可得sinA>0,则sinB=cosB+sinB,2213即sinB=cosB,可得tanB=3,22π因为B∈(0,π),所以B=.3222选③:因为a+ba-b=a-cc,可得a+c-b=ac,a2+c2-b2ac1由余弦定理得cosB===,2ac2ac25π又因为B∈(0,π),所以B=.3π(2)解:因为B=,且b=2,322222π由余弦定理知b=a+c-2accosB,即4=a+c-2accos,3可得a2+c2-ac=4,又由a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,当且仅当a=c时,等号成立,所以ac≤4,11π所以△ABC的面积S=acsinB≤×4×sin=3,△ABC223即△ABC的面积的最大值为3.类型2:三角形周长定值及最值类型一:已知一角与两边乘积模型第一步:求两边乘积第二步:利用余弦定理求出两边之和类型二:已知一角与三角等量模型第一步:求三角各自的大小第二步:利用正弦定理求出三边的长度最值步骤如下:第一步:先表示出周长l=a+b+c第二步:利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC将边化为角第三步:多角化一角+辅助角公式,转化为三角函数求最值周长定值及最值问题专项练习7在锐角三角形△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,CD为CA在CB方向上的投影向量,且满足2csinB=5CD.(1)求cosC的值;(2)若b=3,a=3ccosB,求△ABC的周长.2【答案】(1)3(2)2+23【详解】(1)由CD为CA在CB方向上的投影向量,则CD=bcosC,即2csinB=5bcosC,根据正弦定理,2sinCsinB=5sinBcosC,π在锐角△ABC中,B∈0,,则sinB>0,即2sinC=5cosC,2π222522由C∈0,,则cosC+sinC=1,整理可得cosC+cosC=1,解得cosC=.243(2)由a=3ccosB,根据正弦定理,可得sinA=3sinCcosB,6在△ABC中,A+B+C=π,则sinB+C=3sinCcosB,sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB,sinBcosC=2sinCcosB,225由(1)可知cosC=,sinC=1-cosC=,则sinB=5cosB,332222630由sinB+cosB=1,则5cosB+cosB=1,解得cosB=,sinB=,66bcsinC6根据正弦定理,可得=,则c=b=2,a=c=3,sinBsinCsinB2故△ABC的周长C△ABC=a+b+c=23+2.8如图,在梯形ABCD中,AB⎳CD,∠D=60°.(1)若AC=3,求△ACD周长的最大值;(2)若CD=2AB,∠BCD=75°,求tan∠DAC的值.【答案】(1)9(2)3+3.【详解】(1)在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD⋅DCcosD=AD

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