辽宁省大连市庄河市高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题(A卷)

辽宁省庄河市高级中学2022-2023学年度第一学期12月月考高三数学A一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则A． B． C． D．2．江宁为“六代豪华”之地、“十朝京畿”要地，享有“天下望县、国中首善之地”的美誉．江宁区的美丽乡村示范区按照“一村一品、一村一景、一村一业、一村一韵”要求，打造了十大美丽乡村，其中黄龙规村、大塘金村、周村、石塘村全国有名．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学前往以上四个村考察乡村文化，每一位同学只去一个村，每个村至少去一人，则所有的安排方案总数为（    ）A．96 B．480 C．240 D．1203．设、为锐角，，，则为（    ）A． B． C．或 D．以上都不对4．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a5．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A．16种 B．18种 C．20种 D．24种6．已知定义在上的函数在上是增函数，若是奇函数，且，则不等式的解集是．A． B．C． D．7．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知数列满足，则A．当时，则 B．当时，则C．当时，则 D．当时，则二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（    ）A．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区ABCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从B校中抽取的样本数量为80B．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6C．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，则D．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M={第一次取到红球}，N={第二次取到白球}，则M、N为相互独立事件10．悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为（，其中a为非零常数，e为自然对数的底数）．当a＝1时，记，则下列说法正确的是（    ）A．B．是周期函数C．的导函数是奇函数D．在上单调递减11．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不在同一个大圆上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面图形称为球面△ABC.已知R为地球半径，N为北极点，P，Q是地球表面上的两点，则下列结论正确的有（    ）A．若P，Q在赤道上，且，则三棱锥O-NPQ的体积为B．若P，Q在赤道上，且，则球面△NPQ的面积为C．若，则球面△NPQ的面积为D．若，则由球面△NPQ，平面OPN，平面OQN及平面OPQ所围成的几何体的体积为12．已知函数，若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）A．在函数上存在点，使得函数过该点的切线与只有一个交点B．过点可作两条切线与函数相切C．D．的值与2的关系不确定三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．由正整数组成的数列，分别为递增的等差数列、等比数列，，记，若存在正整数（）满足，，则__________．14．已知单位向量两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作.已知，，则__________．15．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，则三棱柱的外接球的体积为___________．16．若对任意正实数x，y，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量，，其中（1）若，求函数的最小值及相应的的值；（2）若与的夹角为，且，求的值．18．已知等差数列满足：，的前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.19．如图，直三棱柱的底面是正三角形，分别是的中点.证明：（1）平面平面；（2）平面平面.20．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：0.250.51241612521（1）根据散点图判断,哪一个适宜作为关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立与之间的回归方程．（注意或计算结果保留整数）（3）由（2）中所得设z=+且，试求z的最小值．参考数据及公式如下：，，21．已知动圆既与圆：外切，又与圆：内切，求动圆的圆心的轨迹方程.22．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)当时,试问曲线与直线是否有公共点?如果有,求出所有公共点;若没有,请说明理由.参考答案1．A整理复数成，实部与虚部相等列方程求解．由题可知==，又复数实部与虚部相等，所以，故选A．本题考查了复数知识及复数运算，利用复数相关知识列方程求解．2．C先5人分成4组，其中一组2人，再分配到4个不同的村子即可.根据题意，5个同学分4组，其中一组有2名同学，共有种不同的分组方法，再安排4组同学去4个不同的村子，共有种不同的安排方法，由分步乘法计数原理可得，故选：C.3．A利用sin2α+cos2α＝1可求得cosα，同理可求得cosβ，再由两角和与差的余弦函数求得α+β的余弦，从而可求得α+β．、为锐角，且，，∴，，∴，又、为锐角，所以，∴．故选A本题考查sin2α+cos2α＝1的应用，考查两角和与差的余弦，考查运算能力，属于中档题．4．B试题分析：利用奇偶函数得出当x≥0时，f（x）=，x≥0时，f（x）=，画出图象，根据对称性得出零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，关键运用对数求解x3=1﹣3a，整体求解即可．解：∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x≥0时，f（x）=，得出x＜0时，f（x）=画出图象得出：如图从左向右零点为x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故选B考点：函数的零点与方程根的关系．5．C分析：根据分类计数原理，“东亚文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分两种情况讨论即可．详情：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案为C点睛：本题主要考查计数原理，意在考查计数原理等基础知识的掌握能力和分类讨论思想的运用能力.6．C根据是奇函数，确定函数图象的对称中心为，再根据函数在上是增函数，确定函数在上为增函数，由以及函数的对称性，得出.画出函数图象的草图，结合图象确定不等式的解集.是奇函数.函数图象的对称中心为．函数图象的对称中心为且．又函数在上是增函数.函数在上为增函数..由对称性，．画出函数图象的草图（如图）．结合图象可得的解集是．故选C．本题考查函数的单调性与奇偶性及其简单应用，发展了学生的直观想象的核心素养，属于中档题.7．C根据平面向量的数量积运算得出的关系，代入椭圆方程，整理得出关于的方程，利用方程有解可建立关系求解.由题可知，设，，则，，，，代入椭圆，可得有解，令，，，，且对称轴满足，即，，，又，.故选：C.8．C依次判断每个选项的正误，得到答案.即当时，，故，A错误当时，，故，B错误对于D选项，当时，，，D错误用数学归纳法证明选项C易知恒成立当时，，成立假设当时成立，，即当时：即  成立故恒成立，得证故答案选C本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学知识，方法，性质的灵活运用.9．ABC利用抽样比即可判断从B校中抽取的样本数量；利用对立事件及古典概型即可得到至少取到1件次品的概率；根据线性回归直线必过样本中心点，可得的值；根据相互独立的定义即可作出判断.A.由分层抽样，应抽取人数为，A正确；B.至少取到1件次品的概率为，B正确；C.∵回归直线必过中心点，C正确；D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事件.故选：ABC10．ACD，代入法判断选项A中是否成立；根据函数的周期性定义判断选项B；根据函数奇偶性性定义判断选项C；利用导函数判断选项D，对于A：，故A正确；对于B：，不存在非零常数T，使成立，故B错误；对于C：的定义域为R，，满足，所以是奇函数，故C正确；对于D：当时，，所以在上单调递减，故D正确．故选：ACD．11．ABC根据题意画出图形，证明两两垂直，结合三棱锥的体积公式和球的表面积公式计算即可判断A、B；由构造正四面体，利用等体积法和余弦公式求出，结合对称性即可判断C；根据选项C的分析，结合球和三棱锥的体积公式，利用间接法即可求出几何体的体积，进而判断D.如图1，因为，所以，则，又赤道所在平面，所以两两垂直，则三棱锥的体积，故A正确；当时，，则球面的面积为，故B正确；如图2，当时，为正三角形，构造球内接正四面体，其中心为O，连接NO交SPQ于H，则NO=R，OH为正四面体内切球的半径，由等体积法可得，，则，在中，由余弦定理可得，即，得，由对称性可得，球面的面积为，故C正确；如图3，结合选项C的分析可知，则，，所在的截面将球分为大半球、小半球两部分，其中大半球的体积为，在中，由余弦定理得，，得，则，有，所以题意中构成几何体的体积为，故D错误.故选：ABC.12．AC求出在点处的切线，设，由导数判断其单调性，研究函数的零点即可判断选项A；求出在点处的切线将和、代入，构造函数判断方程有无实根即可判断选项B；求出的单调性，构造函数，证明，即，即，根据的单调性可得出结论，可判断选项C和D，进而可得正确选项.对于选项A：的定义域为，设点处切线为，则切线为，设，所以，由可得：；由可得：，所以在单调递减，在单调递增，令则，可得在单调递增，而，所以在上只有一个零点，故选项A正确；对于选项B：设点则切线为，若切线过点，可得，即，令，则，由可得：；由可得：，所以在单调递减，在单调递增，，所以无解，所以不存在过点的切线，故选项B不正确；对于选项C和D：，所以可得在单调递增，由，，设，记，（），则，所以在单调递增，因为，，所以，即即，即，根据在单调递增，可得，所以，故选项C正确，选项D不正确，故选：AC.求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点，（2）求出在处导数，即在点处的切线斜率；（3）构建关系，解得；（4）由点斜式求得切线方程.13．262根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以且；又时显然不成立，所以，则，即；因为，，所以；因为，所以；由可知：，则，；又，所以，则有根据可解得符合条件的解有：或；当时，，解得不符，当时，解得，符合条件；则.本题考查等差等比数列以及数列中项的存在性问题，难度较难.根据存在性将变量的范围尽量缩小，通过不等式确定参变