河北省邯郸市2025届高三第一次调研考试数学试题（含答案）

河北省邯郸市2025届高三第一次调研考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a=(x,−1)，b=(2,1)，若(a−2b)//b，则x= (    )A.−2 B.−1 C.1 D.22.若z+1z−1=2i，则z= (    )A.45−35i B.35−45i C.35+45i D.45+35i3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S13S9=269，则a7a5= (    )A.3 B.2 C.43 D.234.已知正三棱台ABC−A′B′C′的体积为1423，若AB=2，A′B′=4，则该正三棱台的高为(    )A.263 B.14615 C.14627 D.4335.已知sin(α−β)=13，tanα=3tanβ，则sin(α+β)= (    )A.16 B.13 C.12 D.236.在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为(    )A.32 B.24 C.18 D.127.已知函数f(x)=(x−1)2−sinxx2+1，g(x)=ax+1(a≠0)，若y=f(x)和y=g(x)图象存在3个交点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，则y1+y2+y3= (    )A.1 B.2 C.3 D.48.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若PF1⋅PF2=0，且3|PD||PE|=S△PF1F2，则双曲线C的离心率为(    )A.233 B.2 C.3 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图．根据图中数据，下列结论正确的是(    )A.文化衫尺码的众数为187 B.文化衫尺码的平均数为165C.文化衫尺码的方差为28 D.文化衫尺码的中位数为16510.已知函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)(x,y∈R)，则(    )A.f(0)=12 B.f(x)为奇函数 C.f(x)为周期函数 D.f(2)=−1411.已知实数a，b是方程x2−(k−3)x+k=0的两个根，且a>1，b>1，则(    )A.ab的最小值为9 B.a2+b2的最小值为18C.3a−1+1b−1的最小值为3 D.a+4b的最小值为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知集合A={x|18≤2x<5}，B={−3,−2,0,1,2,3}，则A∩B=          ．13.若过点(0,0)的直线是曲线y=x2+1(x>0)和曲线y=lnx−ax+1+a的公切线，则a=          ．14.已知有穷递增数列{an}的各项均为正整数(n≥3)，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该数列可能为          .(填写一个数列即可)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．(1)求∠BAC;(2)若AD=7，BE=2，cos∠DPE=714，求△ABC的面积．16.(本小题15分)如图，已知正四面体F−ABC的底面与正四棱锥A−BCDE的一个侧面重合．(1)求证：AF⊥DE;(2)求二面角F−BC−D的余弦值．17.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2的面积为263．(1)求椭圆C的方程;(2)过点P的直线l交椭圆C于另一点A，若S△PAF2=S△PF1F2，求l的方程．18.(本小题17分)已知函数f(x)=2lnx+1x，g(x)=ax．(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈[1,+∞)时，g(x)≥f(x)，求实数a的取值范围;(3)证明：12+12×3+13×4+⋯+12023×2024>ln2024．19.(本小题17分)设(X,Y)是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为(xi,yj)，其中i=1，2，3，⋯，n，j=1，2，3，⋯，m，则称P(X=xi,Y=yj)=pij(pij≥0)为二维随机变量(X,Y)的联合分布列.定义：P(X=xi)=pi·=j=1mpij，称(p1·,p2·,⋯)为(X,Y)关于X的边际分布列，P(Y=yj)=p·j=i=1npij，称(p·1,p·2,⋯)为(X,Y)关于Y的边际分布列;对于固定的j，称p(i|j)=P(X=xi|Y=yj)=pijp·j(i=1,2,3,⋯,n)为给定Y=yj条件下的离散型随机变量X的条件分布列，则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：(X,Y)y1y2⋯ymPi·x1p11p12⋯p1mp1·x2p21p22⋯p2mp2·⋯⋯⋯⋯⋯⋯xnpn1pn2⋯pnmpn·P·jp·1p·2⋯p·m1(1)求证：对于∀j，i=1np(i|j)=1;(2)若(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：(X,Y)123Pi·10.30.10.10.520.050.10.150.330.050.10.050.2P·j0.40.30.31求给定X=2条件下Y的条件分布列;(3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中.记放入1号盒子的球的个数为X，放入2号盒子的球的个数为Y，则(X,Y)是一个二维离散型随机变量.列出(X,Y)的联合分布列与边际分布列．参考答案1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 9.BD 10.ACD 11.ABC 12.{−3,−2,0,1,2} 13.4 14.1，5，24(答案不唯一，如：1，6，14;1，8，9;2，3，10;2，4，6) 15.解：(1)因为(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，所以由正弦定理得b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cos∠BAC=b2+c2−a22bc=12，又0<∠BAC<π，所以∠BAC=π3．(2)因为P是BC，AC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是△ABC的重心．又AD=7，BE=2，∠APB=∠DPE，所以在△ABP中，由余弦定理有c2=AB2=PA2+PB2−2PA⋅PBcos∠APB=(273)2+(43)2−2×273×43×714=4，所以c=2，又BE=2，∠BAC=π3，所以AE=BE=2，所以b=2AE=4，所以△ABC的面积为12×4×2×sinπ3=23． 16.解：(1)如图，分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH，因为已知正四面体F−ABC的底面与正四棱锥A−BCDE的一个侧面重合，所以所有棱长均相等，所以FG⊥BC，AH⊥DE，又A−BCDE为正四棱锥，所以底面BCDE为正方形，所以GH⊥DE，由AH∩GH=H，AH、GH⊂平面AHG，所以DE⊥平面AHG，因为BC/​/DE，所以BC⊥平面AHG，由BC⊥GH，BC⊥FG，且FG∩GH=G，FG、GH⊂平面FGH，得BC⊥平面FGH，所以平面FGH与平面AHG重合，即BC⊥平面AFGH，所以BC⊥AF，所以AF⊥DE．(2)由(1)可知，在平面AFGH中，AF=BE=GH，FG=AH，所以四边形AFGH为平行四边形，所以AF//GH．取棱AF的中点M，连接GM，AG，可得FG=AG，因为GM在平面AFGH中，所以GM⊥AF，可得GM⊥GH，由BC⊥平面AFGH，得BC⊥GM，则GH，BC，GM两两垂直，设棱长为a，则FG=AG=3a2，GM=FG2−FM2=2a2，以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,a2,0)，C(0,−a2,0)，F(−a2,0,2a2)，M(0,0,2a2)，所以BF=(−a2,−a2,2a2)，BC=(0,−a,0)，设平面BCF的一个法向量为n=(x,y,z)，则BF⋅n=(−a2,−a2,2a2)⋅(x,y,z)=0,BC⋅n=(0,−a,0)⋅(x,y,z)=0,令x=1，则y=0，z=22，即平面BCF的一个法向量为n=(1,0,22)，又平面BCD的一个法向量为GM=(0,0,2a2)，cos=a262×2a2=33，因为二面角F−BC−D为钝角，所以二面角F−BC−D的余弦值为−33． 17.解：(1)由抛物线方程y2=4x知F2(1,0)，所以F1(−1,0)，设P(x0,y0)，则S△PF1F2=12×|F1F2|×y0=y0=263，又点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上，所以(263)2=4x0，解得x0=23，即P(23,263)，根据椭圆定义2a=|PF1|+|PF2|=73+53=4，解得a=2，c=1，所以b=a2−c2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)因为S△PAF2=S△PF1F2，所以AF1//PF2，又kPF1=263−023−1=−26，直线AF1:y=−26(x+1)，联立y=−26(x+1)x24+y23=1，消去y得，33x2+64x+28=0，解得x=−23或x=−1411，所以A(−23,−263)或A(−1411,6611)，可求得直线l的方程为6x−y=0或6x−16y+106=0． 18.解：(1)因为f(x)的定义域为(0,+∞)，对f(x)求导得，f′(x)=2x−1x2=2x−1x2，当2x−1x2>0，即x>12时，f(x)单调递增，当2x−1xz<0，即00，即2lnx1，代入得lnn+1n=2lnn+1nln(n+1)−lnn，分别取n=1，2，3，⋯，2023代入相加得12+12×3+13×4+⋯+12023×2024>(ln2−ln1)+(ln3−ln2)+⋯+(ln2024−ln2023)=ln2024，原式即证． 19.(1)证明：i=1npi|j=p1jp·j+p2jp·j+⋯+pnjp·j=p1j+p2j+⋯+pnjp·j=i=1npijp·j=1；(2)解：因为PX=2=p2·=0.3，所以用第二行Y=1，2，3的值分别除以0.3，可得给定X=2条件下的条件分布列：Y|(X=2)123P161312(3)解：由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，2，3，设x1=y1=0,x2=y2