数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CABBDDCD【解析】1.命题p是一个存在性命题,说明存在使x2-4x+3>0的实数x,则它的否定是:不存在使x2-4x+3>0的实数x,即对任意的实数x2-4x+3>0都不能成立,由以上的分析,可得¬p为:∀x>0,x2-4x+3≤0,故选C.2.设该扇形的圆心角为θ,半径为r,则θr=π,12πr=2π⇒θ=π4r=4,故选A.3.tan240∘+sin300∘=tan180∘+60∘+sin360∘-60∘=tan60∘-sin60∘=32,故选B.4.1a+1b+4a+b=a+b4+4a+b≥2,当且仅当a=b=2时,取“=”成立,故选B.5.A选项中y=x3为奇函数,故y=x3+1有对称中心0,1;B选项中y=x+1x为奇函数,将其右移一个单位后得到y=x-1+1x-1=x2-2x+2x-1,故有对称中心1,0;C选项中y=ex-1ex+1为奇函数,有对称中心0,0;D选项中y=x+1x不存在对称中心,故选D.6.已知cosα-π6=23,则sin2α+π6=sinπ2+2α-π3=cos2α-π3=2cos2α-π6-1=2×49-1=-19,故选D.7.函数fx=2lnx-12ax2-2x在12,4上存在单调递增区间,即f'x=2x-ax-2>0在区间12,4上有解,即2x2-2x>a,令t=1x∈14,2,即2t2-2t>a有解,故取t=2,得a<4,故选C.8.作出fx=log21-x,x<1,-x-22+m,x≥1的图象,如图所示:f1=m-1,f2=m,令t=fx,先解ft=0,知其有两根t1=0和t2=2+m,则方程fx=t1=0提供2个根,故方程fx=t2提供4个不等实根,故m-1≤t2答案ABDADACD【解析】9.基本事件x,y总数n=6×6=36,事件A包含的基本事件x,y有18个,∴PA=1836=12,事件B包含的基本事件x,y有9个,所以PB=14,故A正确;事件C包含的基本事件x,y有24个,PC=2436=23,故B正确;AB包含的基本事件有9个,PAB=936=14,PAB≠PAPB,∴A与B不是相互独立事件,故C错误;BC包含的基本事件有6个,PBC=16=PBPC,∴B与C是相互独立事件,故D正确,故选ABD.10.因为fx+f-π3-x=2,所以fx的图象关于点-π6,1对称,又对任意x∈R,都有fx≥f-5π12,所以当x=-5π12时,fx取得最小值,当ω取最小值时,即周期T最大,可得T4=-π6--5π12,得T=π,所以ω=2πT=2,函数fx在x=-5π12时取得最小值,所以2sin-5π6+φ+1=-1.因为φ<π2,所以φ=π3.即fx=2sin2x+π3+1.令2x+π3=π2+kπ,k∈Z,得x=π12+kπ2,k∈Z.故A正确;当x∈-π12,π6时,2x+π3∈π6,2π3.此时fx的值域为2,3,故B错误;将y=2sin2x-π6+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数y=2sin2x+π6+1的图象,故C错误;当x∈π6,π3时,2x+π3∈2π3,π,fx单调递减,故D正确,故选AD.11.fx=exlnx,故f'x=exlnx⋅lnx+1,对于A选项,f'x只有x=1e这一个变号零点,故fx在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,故在x=1e处取得极小值f1e=1e1e, x→+∞时,fx→+∞,当00,故xn-1-1n也需要在x∈0,1上小于0,x∈1,+∞上大于0,显然不存在正整数n≥2满足题意,B选项错误;对于C选项,hx=fx-ax-1-1≥0,发现h1=0,故x=1必为极小值点,由h'x=exlnx⋅lnx+1-a知h'1=0得到a=1,检验当a=1时,对于h'x=exlnx⋅lnx+1-1,x>1时,lnx+1>1,exlnx>1,故h'x>0,00,所以nx在0,+∞上单调递增.因为nax≥nlnx,所以ax≥lnx,所以a≥lnxx,令φx=lnxxx>0,则φ'x=1-lnxx2x>0,当00,当x>e时,φ'x<0,所以φx在0,e上递增,在e,+∞上递减,所以φxmax=φe=lnee=1e,所以a≥1e.14.由函数fx=asinωx+bcosωx=a2+b2sinωx+φtanφ=ba,φ∈0,π2,可知函数周期是2πω,由①知f'π3=ωacosωπ3-bsinωπ3=0⇒tanωπ3=ab,且函数的一条对称轴是x=π3,所以ω×π3+φ=π2+mπm∈Z⇒φ=-ωπ3+π2+mπ;又因为fx在区间3π5,4π5是单调函数,所以3π5ω+φ,4π5ω+φ⊆-π2+kπ,π2+kπk∈Z,3π5ω+φ≥-π2+kπ4π5ω+φ≤π2+kπ12T≥π5⇒3π5ω-ωπ3+π2+mπ≥-π2+kπ4π5ω-ωπ3+π2+mπ≤π2+kπ12T≥π5⇒ω≥-154+154k-mω≤157k-m0<ω≤5⇒0<ω≤157或154≤ω≤307.四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)（1）解:已知a1+a22+a33+⋯+ann=nn+1,n∈N*,当n=1时,a1=2;当n≥2时,a1+a22+a33+⋯+an-1n-1=nn-1⇒ann=2n⇒an=2n2,综上:an=2n2,n∈N*..(6分)（2）证明:bn=an+1-anan⋅an+1=121n2-1n+12⇒Sn=b1+b2+⋯+bn=121-1n+12,.(9分)∵Sn=121-1n+12,n∈N*单调递增,(10分)∴n=1时,Snmin=S1=38,(11分)∵n∈N*,1n+12>0, ∴1-1n+12<1,即Sn<12,.(12分)因此:∀n∈N*,38≤Sn<12.(13分)16.(本小题满分15分)解:(1)PAB=PA∣BPB=16×23=19;由全概率公式可得PA=PB⋅PA∣B+PB⋅PA∣B,解得PA∣B=23.-(6分)（2）完成列联表如下:性别身高合计2-3低于170 cm不低于170cm女20424男4812合计241236零假设为H0:学生的性别与身高是否不低于170 cm无关,根据列联表中的数据,经计算得到χ2=36×20×8-4×4224×12×12×24=9>7.879=x0.005,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为学生的性别与身高是否不低于170 cm有关,此推断犯错误的概率不大于0.005..(15分)17.(本小题满分15分)解:(1)在△ABC中,∵A=π6,∴sinA=12,cosA=32,由正弦定理,sinA1+cosB=sinB3-cosA,1+cosB2=sinB3-32=3sinB2,则有1+cosB=3sinB⇒2cos2B2=23sinB2cosB2⇒tanB2=33,由于B∈0,π,故B2=π6⇒B=π3..(6分)（2）原等式变为sinA1+cosB=sinB3-cosA,∴3sinB-cosAsinB=sinA+cosBsinA,∴3sinB=sinA+sinA+B=sinA+sinπ-C=sinA+sinC,由正弦定理得3b=a+c,∵b=3,∴a+c=3,S△ABC=12acsinB,由余弦定理知cosB=a2+c2-b22ac=a+c2-3-2ac2ac=3ac-1,其中ac≤a+c24=94,a=c时取等,S△ABC=12ac1-cos2B=12ac6ac-9ac2=126ac-9≤126×94-9=324..(15分)法二:由cosB=a2+c2-b22ac=a+c2-3-2ac2ac=3ac-1⇒31+cosB=ac,其中ac≤a+c24=94,故cosB≥13, S△ABC=12acsinB=1231+cosBsinB=3sinB21+cosB=31-cos2B21+cosB,令t=1+cosB≥43, S△ABC=321-cosB1+cosB=322-tt≤3232-1=324.法三:由正弦定理得3b=a+c,∵b=3,∴a+c=3,则点B可看作是以A,C为焦点,3为长轴长的椭圆上的点,以AC中点为原点,AC所在直线为x轴建立直角坐标系,则点B轨迹方程为:x294+y232=1,故S△ABC=12AC⋅yB≤12×3×32=324.18.(本小题满分17分)（1）解:设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0,依题意有:a=4,2b=6,∴b=3,所以双曲线方程为x216-y29=1..(4分)(2)(i)证明:设直线MN方程为:x=my+6,设Mx1,y1,Nx2,y2,联立方程x=my+6x216-y29=1,消去x得:9m2-16y2+108my+180=0,∵m≠±43, ∴y1+y2=-108m9m2-16,y1y2=1809m2-16,∵Mx1,y1是双曲线C上的点,∴x1216-y129=1, ∴x12-1616=y129, ∴x1+4x1-4y12=169, ∴x1+4y1=16y19x1-4,直线A1M:y=y1x1+4x+4,直线A2N:y=y2x2-4x-4,联立方程得y1x1+4x+4=y2x2-4x-4, ∴x+4x-4=y2x1+4y1x2-4=x1+4y1⋅y2x2-4=16y19x1-4⋅y2x2-4=16y19my1+2⋅y2my2+2=16y1y29m2y1y2+18my1+y2+36=-5,解得x=83,故点P在定直线x=83上..(12分)(ii)解:由双曲线对称性可知,点Q也在直线x=83上,设P83,y3,Q83,y4,点P在直线A1M上,所以y3=y1x1+483+4=20y13x1+4,点Q在直线A1N上,所以y4=y2x2+483+4=20y23x2+4,所以PR⋅QR=103,-y3⋅103,-y4=1009+y3y4=1009+4009⋅y1y2x1+4x2+4=1009+4009⋅y1y2my1+10my2+10=1009+4009⋅y1y2m2y1y2+10my1+y2+100=1009+4009⋅1809m2-16m21809m2-16-1080m29m2-16+100=1009-4009×980=559,所以PR⋅QR=559..(17分)19