数学-广东省深圳市普通高中2024年高一年级下学期7月期末调研考试

{#{QQABTYqAggCIAIAAAAhCUQU6CEMQkACACYgOQAAAMAAAgBFABAA=}#}{#{QQABTYqAggCIAIAAAAhCUQU6CEMQkACACYgOQAAAMAAAgBFABAA=}#}2024年深圳市普通高中高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准2024.7本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBCBDCBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案BCABCACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1512.−13.[,)+14.3；32四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知△ABC的内角A,,BC的对边分别为abc,,，csinA+=3acosC0.（1）求C；（2）若a=4，△ABC的面积为3，求b和c．abc解：（1）由正弦定理：==，那么sinCAACsin+=3sincos0，………2分sinABCsinsin由于sin0A，则sinCC+=3cos0，则tan3C=−，………………………………4分2π且C(0,π)，故C=；…………………………………………………………………6分3113（2）由于S=absinC=4b=3，……………………………………8分△ABC222则b=1，……………………………………9分及余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC，………………………12分那么c=21.…………………………………………………………………………………13分数学试题参考答案及评分标准第1页共7页{#{QQABTYqAggCIAIAAAAhCUQU6CEMQkACACYgOQAAAMAAAgBFABAA=}#}16.（15分）π已知函数fx(x)sin=+()(0,)，函数fx()的最小正周期为π，且2πf()=0.6（1）求函数fx()的解析式；（2）求使2(fx)10−成立的x的取值范围．2π解：（1）因为函数fx()的周期为π，所以T==π，即=2，……………………2分fx(x)sin=+(2).……………………………………………………………………………3分πππ又因为f()sin=(2)+0=，即+=kπ，kZ，…………………………………5分663π所以=−+kπ，kZ.……………………………………………………………………6分3ππ又因为||，所以取=−，……………………………………………………………7分23π即fx(x)sin=−(2).…………………………………………………………………………8分31（2）证：因为2fx()−10，所以fx()，…………………………………………………9分2π1即sin(2x−)，………………………………………………………………………………10分32π1π5π令tx=−2，由于sint的解集为{t|+2kπt+2kπ,kZ}……………12分3266ππ5π所以+2kπ22x−+kπ,kZ，…………………………………………………13分636π7π解得+kπx+kπ,kZ，…………………………………………………………14分412π7π故x的取值范围是{|x+kπx+kπ,kZ}.………………………………………15分41217．（15分）如图，AB是O的直径，AB=2，点C是O上的动点，PA⊥平面ABC，过点A作AEP⊥C，过点E作EFP⊥B，连接AF．（1）求证：BC⊥AE；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB；（3）当C为弧AB的中点时，直线PA与平面PBC所成角为45，求四棱锥A−EFBC的体积．证明：（1）由于AB为圆O的直径，BC⊥AC；……………………………………………………1分因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，数学试题参考答案及评分标准第2页共7页{#{QQABTYqAggCIAIAAAAhCUQU6CEMQkACACYgOQAAAMAAAgBFABAA=}#}那么PAB⊥C，………………………………………………………………………………………2分且PAACA=，PA平面PAC，AC平面PAC，那么BC⊥平面PAC，…………………………………………………………………………3分且AE平面PAC，那么BCA⊥E，…………………………………………………………4分（2）由（1），BCA⊥E，AEP⊥C，且PCBCC=，PC平面PBC，BC平面PBC，则AE⊥平面PBC，……………………………………………………………………………5分由于PB平面PBC，那么AEP⊥B，…………………………………………………………6分又因为EF⊥PB，AEEFE=，AE平面AEF，EF平面AEF，则PB⊥平面AEF，…………………………………………………………………………………7分且PB平面PAB，则平面AEF⊥平面PAB；…………………………8分（3）由（2）可知：AE⊥平面PBC，那么=APE45，且PAC=AEP=90，那么PCA=PAE=EAC=45，且ACB==C2，……………………………………9分那么PAA==C2，AEP=E=E=C1，PB=6，………………………………………10分11222363在△PAB中，AFPB=PAAB，那么AF==，PF=，EF=,226333…………………………………………………………………………………………………11分111362那么V=V=AES=1=,………………………13分P−−AEFAPEF3△PEF323318112V=222=，………………………………………………………14分P−ABC3232252则V=−=.………………………………………………………………15分A−EFBC3181818．（17分）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分。参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示．频率/组距考核得分（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率；（3）现已知直方图中考核得分在[70,80)内的平均数为75，方差为6.25，在[80,90)内的平均数为数学试题参考答案及评分标准第3页共7页{#{QQABTYqAggCIAIAAAAhCUQU6CEMQkACACYgOQAAAMAAAgBFABAA=}#}85，方差为0.5，求得分在[70,90)内的平均数和方差．解：（1）由题意得：10(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1，解得t=0.03.…………………1分设第60百分位数为x，则0.0110+0.01510+0.0210+0.03(x−80)=0.6解得x=85，第60百分位数为85.……………………………………………………………2分8（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有52=人，设为A、B，在[80,90)的有201253=人，设为a、b、c,……………………………………………………………3分20则样本空间为={(AB,),(Aa,),(Ab,),(Ac,),(Ba,),(,Bb),(Bc,),(ab,),(ac,),(bc,)}，n(=)10.……………………………………………………………………………………………………………4分设事件M=“两人分别来自[70,80)和[80,90)”，则M={(Aa,),(Ab,),(Ac,),(Ba,),(Bb,),(Bc,)}，nM()=6，………………………………5分因此nM()63PM()===，n()1053所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为.…………………………………………6分5（3）（法一）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.02=8个，落在区间[80,90)内的数据有40100.03=12个.……………………………………………………………7分2记在区间[70,80)的数据分别为x1，x2，，x8，平均分为x，方差为sx；在区间[80,90)的数据分22别为为y1，y2，，y12，平均分为y，方差为sy；这20个数据的平均数为z，方差为s.18112由题意，，，s2=6.25，2，且，x=75y=85xsy=0.5xx=iyy=j8i=112j=18xy+12875+1285则z===81.…………………………………………………………9分2020根据方差的定义，18121812s2=()()x−z2+y−z2=(x−x+x−z)(22+y−y+y−z)20ij20ijij==11ij==111888121212=(xx−+−+−)2()2()(xz2xzxx−+)(yy−+−+−)2()2()(yz2xzyx−)20iijji=1i=1i=1j=1j=1j=1………………………………………………………………………………………………12分881212由，(y−y)=y−12y=0，可得……………………………分(xii−x)=x−8x=0jj13ii==11jy==111881212s2=()()()()x−x2+x−z2+y−y2+y−z220iji=1i=1j=1j=1数学试题参考答案及评分标准第4页共7页{#{QQABTYqAggCIAIAAAAhCUQU6CEMQkACACYgOQAAAMAAAgBFABAA=}#}1=8s2+8(x−z)2+12s2+12(y−z)220xy23=s2+()()x−z2+s2+y−z255xy23=6.25+(75−81)22+0.5+(85−81)55=26.8故得分在[70,90)内的平均数为81,方差为26.8.…………………………………………17分（法二）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.02=8个，落在区间[80,90)内的数据有40100=.0312个.……………………………………………………………………7分2记在区间[70,80)的数据分别为x1，x2，，x8，平均分为x，方差为sx；在区间[80,90)的数据分22别为为y1，y2，，y12，平均分为y，方差为sy；这20个数据的平均数为z，方差为s.18112由题意，，，s2=6.25，2，且xx=，x=75y=85xsy=0.5iyy=j8i=112j=18xy+12875+1285则z===81.…………………………………………………………9分2020根据方差的定义，888888811212s2=()x−x2=x2−2xx+x=x2−2xx+xxiiiii88i=1i=1i=1i=18i=1i=1i=1888121212=x2−2x8x+8x=−xx28=−xx2………………………………13分iii8i=18i=18i=182所以22………………………………………………………………分xix=8(s+x)=4505014i=1