数学-福建省部分高中2024年高二上学期10月月考

2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量a=(0,3,3)是直线l的方向向量，b=(−1,1,0)是平面m的一个法向量，则直线l与平面m所成的角为（）ππππA．B．C．D．64322．已知a=(2,−1,3)，b=−−(1,4,2)，c=(λ,2,4)，若a，b，c共面，则实数λ的值为（）A．1B．2C．3D．413．如图，在棱长均相等的四面体O−ABC中，点D为AB的中点，CE=ED，设2OA=a,,OB=bOC=c，则OE=（）111111A．abc++B．abc++663333111112C．abc+−D．abc++663663试卷第1页，共6页学科网（北京）股份有限公司4．设xy,R∈，向量ax=(,1,1)，by=(1,,1)，c=(2,−4,2)且a⊥cb,//c，则ab+=（）A．22B．10C．3D．45．已知三棱锥O−ABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN等于（）1111A．(bca+−)B．(abc+−)C．(abc−+)D．(cab−−)22226．已知正三棱柱ABC−A111BC的各棱长都为2，以下选项正确的是（）A．异面直线AB1与BC1垂直6B．BC1与平面AA11BB所成角的正弦值为410C．平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为77D．点C到直线AB1的距离为27．在正方体ABCD−A111BCD1中，在正方形DD11CC中有一动点P，满足PD1⊥PD，则直线PB与平面DD11CC所成角中最大角的正切值为（）31+51+A．1B．2C．D．228．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍薨”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍薨，其中四边形ABCD为矩形，其中AB=8，AD=23，ADE与BCF都是等边三角形，且二面角E−−ADB与F−−BCA相等，则EF第2页，共6页长度的取值范围为（）A．(2,14)B．(2,8)C．(0,12)D．(2,12)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。−λ∈µ∈9．已知正方体ABCDA111BCD1，点P满足AP1=λµA11BA+1A，[0,1]，[0,1]，则下列结论正确的是（）A．三棱倠C11−PDD的体积为定值B．当λµ=时，DP∥平面BDC111πC．当µ=时，存在唯一的点P，使得BP与直线CD1的夹角为24D．当λµ+=1时，存在唯一的点P，使得CP⊥平面ABB11A10．已知四面体OABC，则下列说法正确的是（）111A．若D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=++OAOBOC244B．若四面体OABC是棱长为1的正四面体，则(OA+⋅+OB)(CACB)=15C．若A(1,1,0)，B(0,3,0)，C(2,2,3)，则向量AC在AB上的投影是5D．已知a=−+OA2OBOC，b=−++OA32OBOC，c=−+37OAOB，则向量a，b，c不可能共面11．如图，正方体ABCD−A111BCD1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）试卷第3页，共6页学科网（北京）股份有限公司A．直线DD1与直线AF垂直B．直线AG1与平面AEF平行9C．平面AEF截正方体所得的截面面积为8D．点C与点B到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设空间向量am=(−1,2,)，bn=(2,,−4)，若ab//，则ab+=.13．已知正三棱柱ABC−A111BC的底面边长为6，三棱柱的高为4，则该三棱柱的外接球的表面积为.14．如图，已知OA=(1,0,−1)，OB=(−1,2,1)，则以OA，OB为邻边的平行四边形的两条高的长度分别为．第4页，共6页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。115（13分）．四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，2πBC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角Q−−PDA的平面角大小为，求动6点Q的轨迹的长度.16．（15分）如图，长方体ABCD−A111BCD1中，BC=CC1，M是CC1的中点．(1)求证：A11D⊥BD；(2)求证：AC//平面BMD1.17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠=°ABC60，AB=PA=2，E是棱PD上的动点，且PE=λPD，λ∈[0,1]，M是BC边中点.1(1)当λ=时，证明：EM∥平面PAB.2(2)当点E到直线AB距离最近时，求点D到平面ACE的距离.试卷第5页，共6页学科网（北京）股份有限公司18．（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥面ABCD，AD∥BC，∠=°BAD90，1AB=BC=AD，点E是线段AD中点.2(1)求证：平面PBE⊥平面PAC；(2)若直线PE与平面PAC所成角的为30°，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.19．（17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠=°BAD60，DE⊥AB于点E，将ADE△沿DE折起到A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图2.(1)求证：AE1⊥平面BCDE；EP(2)判断在线段EB上是否存在一点P，使平面ADP⊥平面ABC？若存在，求出的值；11PB若不存在，说明理由.第6页，共6页2024-2025学年福建省高二上学期10月月考模拟数学试卷注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量a=(0,3,3)是直线l的方向向量，b=(−1,1,0)是平面m的一个法向量，则直线l与平面m所成的角为（）ππππA．B．C．D．6432【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合线面角的公式即可得到结果.【详解】设直线l与平面m所成的角为θ，由题意可得，ab⋅31πsinθ=cos===，即θ=.ab⋅32×226故选：A2．已知a=(2,−1,3)，b=−−(1,4,2)，c=(λ,2,4)，若a，b，c共面，则实数λ的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】由a，b，c三向量共面，我们可以用向量a，b作基底表示向量c，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【详解】a=(2,−1,3)，b=−−(1,4,2)，∴a与b不平行，又a，b，c三向量共面，试卷第1页，共23页学科网（北京）股份有限公司则存在实数x，y使c=xa+yb，2xy−=λx=2即−+xy42=，解得y=1．32xy−=4λ=3故选：C13．如图，在棱长均相等的四面体O−ABC中，点D为AB的中点，CE=ED，设2OA=a,,OB=bOC=c，则OE=（）111111A．abc++B．abc++663333111112C．abc+−D．abc++663663【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.1【详解】由于CE=ED，2111111所以CE=CD=(CA+=AD)CA+AB=CA+AB,33323611所以OE=+=+OCCEOCCA+AB3611=+OC(OA−+OC)(OB−OA)36112112=OA+OB+OC=++abc.663663故选：D4．设xy,R∈，向量ax=(,1,1)，by=(1,,1)，c=(2,−4,2)且a⊥cb,//c，则ab+=（）A．22B．10C．3D．4【答案】C试卷第2页，共23页【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得xy,的值，结合向量模的计算公式，即可求解.【详解】由向量ax=(,1,1),by=(1,,1),c=(2,−4,2),且a⊥cb,//c，2x−+=420可得1y，解得xy=1,=−2，所以a=(1,1,1)，b=(1,−2,1)，=24−则ab+=(2,−1,2)，所以ab+=3.故选：C.5．已知三棱锥O−ABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示MN，则MN等于（）1111A．(bca+−)B．(abc+−)C．(abc−+)D．(cab−−)2222【答案】A【分析】由向量对应线段的空间关系，应用向量加法法则用OA，OB，OC表示出MN即可.1111【详解】由图知：MN=MO++=−++OCCNOAOCCB=−++OAOC()OB−OC22221111=−OA+OB+OC=()b+−ca.2222故选：A6．已知正三棱柱ABC−A111BC的各棱长都为2，以下选项正确的是（）A．异面直线AB1与BC1垂直试卷第3页，共23页学科网（北京）股份有限公司6B．BC1与平面AA11BB所成角的正弦值为410C．平面ABC1与平面ABC夹角的余弦值为77D．点C到直线AB1的距离为2【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,由空间向量法求空间角、距离，判断垂直．【详解】如图，以AB为x轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1,3,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(1,3,2)，AB11=(2,0,2),BC=(−1,3,2)，AB11⋅BC=−+=2420≠，AB1与BC1不垂直，A错；平面AA11BB的一个法向量为m=(0,1,0)，BC1⋅m36cosBC1,m===，BC1m2246所以BC1与平面AA11BB所成角的正弦值为，B正确；4设平面ABC1的一个法向量是n=(,xyz,)，又AB