数学-湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高二数学试卷命题学校：黄冈中学命题教师：董明秀审题学校：黄梅一中审题教师：石亚林考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1:1B.3:2C.π:3D.4:π2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）A.A与B互斥B.B与C互为对立C.A与B相互独立D.A与C相互独立3.下列说法中正确的是（）A.若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4.已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且13MNON，APAN，以OA,OB,OC为基底，则OP可以表示为（）24第1页/共29页学科网（北京）股份有限公司111A.OPOAOBOC244111B.OPOAOBOC233111C.OPOAOBOC433111D.OPOAOBOC4445.已知向量a，b不共线，满足abab，则ab在b方向上的投影向量为（）1A.aB.bC.bD.b26.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为s2，则（）A.x70,s275B.x70,s275C.x70,s275D.x70,s2757.在平面四边形ABCD中，VABC为正三角形，ADCD，ADCD2，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体BACD，若四面体BACD外接球的球心为O，当四面体BACD的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）第2页/共29页学科网（北京）股份有限公司21221A.B.77221421C.D.2121128.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，APAQ2|PQ|，则APAQ的最大值为（）53232A.1B.C.D.242二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）第3页/共29页学科网（北京）股份有限公司该次数学史知识测试及格率超过A.90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名110.已知O是坐标原点，平面向量aOA，bOB，cOC，且a是单位向量，ab2，ac，则下2列结论正确的是（）A.cac21B.若A，B，C三点共线，则abc33C.若向量ba与ca垂直，则bc2a的最小值为1第4页/共29页学科网（北京）股份有限公司2D.向量ba与b的夹角正切值的最大值为411.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，AC,BD的交点为O，顶点A1,B,C到的距离分别为6,1,2，则（）A.BC//平面B.O到平面的距离为1平面平面正方体的棱长为C.A1ACD.22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a2,3,1，bm1,2,1，且ab，则m___________．13.设钝角VABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a2，bsinA3，c3，则b________.14.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、1平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数z满足zz2，zz4i．（1）求3z；10（2）设复数zz，z2z，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求cosAB,BC．z16.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC，AA12AB，点A1在底面ABC的射影为BC的中点O，M为B1C1的中点．第5页/共29页学科网（北京）股份有限公司（1）求证：A1M平面A1BC；的（2）求二面角A1BCB1平面角的正弦值．17.在锐角VABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3b23c2a2．tanB（1）求的值；tanC（2）若tanA3，a3，求ABC的面积．18.辽宁省数学竞赛初赛结束后△，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）若只有30%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80,100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A,A,B,C,D五个等级.若两科笔试成绩均为A，则直接参加；若一科笔试成绩为A，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现21113有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得A,A,B,C,D的概率分别为,,,,；5612520第6页/共29页学科网（北京）股份有限公司1121115乙在每科笔试中取得A,A,B,C,D的概率分别,,,,；甲、乙在面试中通过的概率分别为,.4551020516求甲、乙能同时参加冬令营的概率.19.类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记APC，BPC，APB，二面角A-PC-B的大小为，则coscoscossinsincos．如图，四棱柱中，底面为菱形，，，，2ABCDA1B1C1D1ABCDBAD60A1AA1C23AB2且A1ADA1AB．（1）在图2中，用三面角余弦定理求cosA1AB的值；ππ（2）在图2中，直线AA与平面ABCD内任意一条直线的夹角为φ，证明：；132CP1（3）在图2中，过点B作平面，使平面//平面A1C1D，且与直线CC1相交于点P，求的值．C1C2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高二数学试卷命题学校：黄冈中学命题教师：董明秀审题学校：黄梅一中审题教师：石亚林考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（）第7页/共29页学科网（北京）股份有限公司A.1:1B.3:2C.π:3D.4:π【答案】B【解析】【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，然后表示出圆柱的表面积和球的表面积，相比即可【详解】设球的半径为R，则由题意得圆柱的底面半径为R，高为2R，所以圆柱的表面积为2R22R2R6R2，球的表面积为4R2，6R23所以圆柱与球的表面积之比为，4R22故选：B2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）A.A与B互斥B.B与C互为对立C.A与B相互独立D.A与C相互独立【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，根据相互独立事件的判断公式判断CD.【详解】对于A，A与B有可能同时发生，不是互斥事件，A错误；对于B，除了B，C以外还有其他事件发生，不是对立事件，B错误；第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3，包含的样本点为(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，故61P(A)，366两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4，包含的样本点为(1,3),(2,2),(3,1)，31故P(B)，3612第8页/共29页学科网（北京）股份有限公司1A,B同时发生的事件包含样本点为(3,1)，故P(AB)，36111所以P(AB)P(A)P(B)，即A,B不相互独立，故C错误；36126两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7，包含的样本点为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，故61P(C)，3661A,C同时发生的事件包含的样本点为(3,4)，故P(AC)，36所以P(AC)P(A)P(C)，即A与C相互独立，故D正确.故选：D3.下列说法中正确的是（）A.若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【答案】D【解析】【分析】对于ABC：以正方体为依托，举反例说明即可；对于D：根据平面的性质分析判断.【详解】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1，对于选项A：例如平面ABB1A1平面ABCD，平面ADD1A1平面ABCD，但平面ABB1A1平面ADD1A1AA1，两平面不平行，故A错误；对于选项B：例如AB与CC1异面，AD与CC1异面，但ABADA，两直线不异面，故B错误；第9页/共29页学科网（北京）股份有限公司对于选项C：例如A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1A1D1A1，两直线不平行，故C错误；对于选项D：若三条直线两两相交且不共点，可得三个不共线的三点，由平面性质可知：这三点确定唯一一个平面，且三条直线均在该平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.故选：D.4.已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且13MNON，APAN，以OA,OB,OC为基底，则OP可以表示为（）24111A.OPOAOBOC244111B.OPOAOBOC23311