数学-东北师大附中2024年高二上学期第一次月考

2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷考试时间：90分钟满分：120分命题人：张淑峰李永国审题人：高二备课组一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若随机试验的样本空间为Ω{0,1,2}，则下列说法不正确．．．的是（）A．事件P={1,2}是随机事件B．事件Q={0,1,2}是必然事件C．事件M=−−{1,2}是不可能事件D．事件{−1,0}是随机事件2．若直线l过点A(1,0)和(−1,23)，则直线l的倾斜角为（）π2π5ππA．B．C．D．33663．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3121314．设AB,是一个随机试验中的两个事件，且PAPBPAB()=,()=,+()=，则P(AB)=（）2521121A．B．C．D．355105．若空间中点A的坐标为(2，2，1)，P(0，0，1)、Q(2，0，0）在直线l上，则点A到l的距离为（）23030255A．B．C．D．55556．某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢212个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，34不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）1115A．B．C．D．3612247．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）1123A．B．C．D．3235．正三棱柱中，，为的中点，为棱上的动点（含端点）8ABC−A111BCAB=2,AA1=3OBCMBC11MNMON为线段AM上的点，且=，则线段MN长度的取值范围为（）MOMA36647347A．[,7)B．[,]C．[,]D．[3,6]42747二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题中正确的是（）A．若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；．在所有棱长都相等的直平行六面体中，平面；BABCD−A111BCD1BD⊥ACC11AC．对于空间三个非零向量abc,,，一定有(ab⋅⋅=⋅⋅)ca(bc)成立；．在棱长为的正方体中，点分别是棱，的中点，则异面直线与D2ABCD−A111BCD1MN,AD11ABMD2NC所成角的余弦值为．510．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表示第二次抛掷骰子的点数，用(xy,)表示一次试验的结果．记事件A=“xy+=7”，事件B=“x≤3”，事件C=“xy=−∈21k(kN∗)”，则（）1A．PC()=BA与B相互独立C．A与C为对立事件D．B与C相互独立4．在棱长为的正方体中，为棱上一点，且，为正方形111ABCD−A111BCD1PBB1B1P=2PBQBB11CC内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）22A．若DQ∥/平面APD，则动点Q的轨迹是一条长为的线段113．存在点，便得⊥平面BQDQ1A1PD5C．三棱锥Q−APD的最大体积为118学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司633D．若DQ=，且DQ与平面APD所成的角为θ，则sinθ的最大值为121133三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12．已知a=(3,2,−1)，b=(2,1,2)，当(ka+⊥−b)(a2b)时，实数k的值为____________．．柜子里有双不同的鞋子，分别用表示只鞋，从中有放回地取出只，记事件133aa1,21212,,,,bbcc6．．．．2M=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M的概率是____________．．已知正四面体的棱切球（正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为，则14ABCDT11该正四面体的内切球的半径为；若动点分别在与的球面上运动，且满足T2____________MN,T1T2MN=++xAByACzAD，则2xyz++的最大值为____________．四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分10分）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设ABC−A111BCMN,AB1,BC11A1M=2,MBB11N=2NC．AB=a,,AC=bAA1=c（1）试用abc,,表示向量MN；（）若，求异面直线与的夹角的2∠=∠=∠=BAC90,BAA11CAA60,AB===ACAA11MNAC余弦值．16．（本小题满分10分）如图，在正四棱柱中，，分别为，的中点．ABCD−A111BCD1AA1=22AB=EF,BB1CC1（）证明：∥平面；1AF1CDE（）求三棱锥的体积；2A1−CDE学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（）求直线与平面所成的角．3AE1CDE17．（本小题满分12分）2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕。在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的大小质地完全相同的红球4个，白球2个颜色和数量（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．18．（本小题满分15分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上的三点，设表示以为圆心，且过、的圆，劣弧的长度记为，同理，圆，的劣弧、OaOBCBCaObOcACAB的长度分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角C−−OAB,,A−−OBCB−OC−A的大小分别为αβγ,,，那么球面三角形的面积为2．SR球面∆ABC=(αβγ++−π)（1）若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；（）若平面三角形为直角三角形，，设，，．2ABCAC⊥BC∠=APCθ1∠=BOCθ2∠=AOBθ3①求证：；cosθθθ123+−=coscos1ππ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为,，BE=λλBD,∈(0,1]，43S为AC的中点，T为BC的中点．设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求cosθ的最大值及此时平面AEC截球O的面积．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司{#{QQABYQqUggiIAIIAAQgCUwGKCAKQkAGAAQgGgBAMMAABCRFABAA=}#}{#{QQABYQqUggiIAIIAAQgCUwGKCAKQkAGAAQgGgBAMMAABCRFABAA=}#}{#{QQABYQqUggiIAIIAAQgCUwGKCAKQkAGAAQgGgBAMMAABCRFABAA=}#}{#{QQABYQqUggiIAIIAAQgCUwGKCAKQkAGAAQgGgBAMMAABCRFABAA=}#}{#{QQABYQqUggiIAIIAAQgCUwGKCAKQkAGAAQgGgBAMMAABCRFABAA=}#}