四川省成都市石室中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题答案

成都石室中学2024～2025学年度上期高2025届十月月考数学参考答案选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.1.已知集合,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】，故，故选B.2.2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一,奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得,两人在决赛中14次射击环数如右图,则A.盛李豪的平均射击环数超过10.6B.黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C.盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差【答案】C【解析】盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A错误；由于，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误；由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确；黄雨婷射击环数的极差为10.8-9.7=1.1，盛李豪的射击环数极差为10.8-10.3=0.5，故D错误.故选C.3.已知,,,则,,的大小关系为A.B.C.D.【答案】A【解析】由于在单调递减，故，又因为，所以，故选A.4.已知实数,,满足，且，则下列说法正确的是A.B.C.D.【答案】C【解析】由题，，取，则，故A错误；，故B错误；，故D错误；因为，所以，即，故C正确.故选C.5.“函数的值域为R”的一个充分不必要条件是A.B.C． D．【答案】D【解析】因为函数的值域为R，所以在方程中，，即，解得或，从而是“函数的值域为R”的充分不必要条件.故选D.6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡。已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的大约需要经过()年.（）A.155B.159C.162D.166【答案】B【解析】设氚含量变成初始量的大约需要经过t年，则，，即，故选B.7.若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D；对于C，当时，，不满足图2，故C错误；将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2，故选A.8.已知函数,则方程的所有根之和为A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】方程的根为函数和的图象交点横坐标，由函数得，如下图所示，两函数图象共有4个交点，且由于两个函数图象关于点中心对称，故方程的所有根之和为6，故选C.二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分,。9．已知函数的定义域为,，则A． B．C．fx是奇函数 D．fx在上单调递增【答案】AC【解析】由知，当时，，即，故A正确；若，则满足条件，但，且fx是在上单调递减，故B,D错误；当时，，即，故C正确，故选AC.10．已知复数的共轭复数分别为，则下列命题为真命题的是A． B．C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】设且，则，，所以，所以，故A正确；，，故B正确；当时，满足，但不能得出，故C错误；，故，故D正确，故选ABD.11.设函数,则下面说法正确的是A.当时，函数在定义域上仅有一个零点B.当时，函数在上单调递增C.若函数存在极值点,则D.若,则的最小值为【答案】ABD【解析】当时，，由得，，函数在定义域上仅有一个零点，故A正确；当时，函数,当时，，故函数在上单调递增，故B正确；，当时，函数在定义域上单调递增，且当时，，当时，，此时函数存在零点，即函数函数在上单调递减，在上单调递递增，故此时函数存在极值点，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递递增，故，故当时，函数存在零点，函数存在极值点,综上，当函数存在极值点时，或，故C错误；对于D，恒成立,当时，或，当且仅当两个零点重合时,即，函数在上单调递减，在上单调递增，满足,则,当时取“=”，故D正确，故选ABD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若函数在上单调，则实数的取值范围为_____．【答案】或【解析】函数的对称轴为，故当或时，函数在上单调，即或，故答案为或.13.若是定义在R上的奇函数，，，则________．【答案】2【解析】因为是定义在R上的奇函数，故，又因为，所以,故，所以，，即的周期为4，由于为定义在R上的奇函数，故，，，故，，故答案为2.14.若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是．【答案】【解析】设切点为，，故切线方程为，将代入切线方程得，令，则，故的单调减区间，增区间是.当时，，当时，，，当与有且仅有两个交点时，，故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知函数为奇函数．(1)求实数的值；(2)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围．【答案】(1);(2)【解析】（1）因为是奇函数，所以， 1分即， 3分所以，故，则， 5分当时，显然不成立;经验证：符合题意；所以； 6分（2）由，， 8分当时，，故在上单调递减. 9分故. 10分因为在区间上没有零点，所以或 12分所以 13分16.（15分）已知三棱锥D-ABC，D在平面ABC上的射影为△ABC的重心O，，.(1)证明：BC⊥AD；(2)E为AD上靠近A的三等分点，若三棱锥D-ABC的体积为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解答；（2）【解析】（1）如图所示，连结并延长交于，因为O为△ABC的重心，所以是的中点， 1分又因为，所以由等腰三角形三线合一可得， 2分因为D在平面ABC上的射影为O，所以平面ABC， 3分又平面ABC，所以， 4分又平面，所以平面， 5分又平面，所以， 6分（2）由（1）知，面ABC， 过作轴平行于，则轴垂直于面ABC，如图以为轴，轴，建立空间直角坐标系， 7分在中，，由（1）知，，故，， 8分所以三棱锥A-BCD的体积为，则因为为△ABC的重心，故， 9分则，因为E为AD上靠近A的三等分点，所以，故 10分设为平面的一个法向量，则，取，则，故， 12分易得是平面的一个法向量， 13分设二面角的平面角为，则为钝角，所以，所以二面角的余弦值为. 15分17.（15分）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占.为减轻工作量，随机地按人一组分组，然后将各组个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次。（1）若试估算该小区化验的总次数；（2）若，且每人单独化验一次花费10元，人混合化验一次花费元，求当为何值时，每个居民化验的平均费用最少.注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当时，.【答案】(1)270;(2)10【解析】（1）设每组需要检验的次数为X，若混合血样为阴性，则X=1，若混合血样呈阳性，则X=21， 1分所以，， 3分所以 5分一共有组，故估计该小区化验的总次数是. 7分（2）设每组n人总费用为Y元，若混合血样呈阴性，则Y=n+9；若混合血样呈阳性，则Y=11n+9, 8分故， 10分 12分每位居民的化验费用为=元 14分当且仅当，即时取等号，故n=10时，每个居民化验的平均费用最少. 15分18.（17分）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）设，则，，， 1分因为，所以， 2分所以，，所以，， 3分又因为，整理得， 4分所以曲线C的方程为； 5分（2）易知当的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在， 6分设l：，将直线l与曲线C联立，得，消去y，整理得， 7分因为且，所以且， 8分设，，则，，所以MN的中点，且， 9分将，代入上式，整理得， 10分当时，线段MN的中垂线方程为：， 11分令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为， 12分当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标， 13分因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，所以， 14分所以， 15分整理得，即， 16分因为且，所以上述方程无解，即不存在直线符合题意. 17分19.（17分）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题：(1)写出在处的泰勒展开式.(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）(3)估计的近似值（精确到）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1)在处的泰勒展开式为：， 2分（2）因为由在处的泰勒展开式，先证，令， 3分，易知，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以， 4分所以在上单调递增，所以，再令，，易得，所以在上单调递增，在上单调递减， 6分而，所以恒成立， 7分当时，，所以成立， 8分当时，令，，易求得，所以必存在一个区间，使得在上单调递减，所以时，，不符合题意. 10分综上所述，. 11分（3）因为转化研究的结构 12分 13分 14分两式相减得 15分取得所以估计的近似值为（精确到）. 17分