江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期10月联合调研数学答案

2024-2025学年第一学期六校联合体10月联合调研高三数学参考答案2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C2．C3．A4．B5．D6．D7．B8．D二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．9．AC10．ACD11．ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．013．814．y=eq\f(eq\r(,3),2)x＋eq\f(eq\r(,3),2)四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，………………...........................2分∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；…………................................……..4分又平面，所以平面平面………………..6分（2）取中点为O，连接CO，PO又因为，所以则因为，所以，则以O为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则,，......................................……..8分设是平面的一个法向量，则得，令则，所以……………............................................…..10分设与平面所成的角为则所以与平面所成的角的正弦值为………………..13分16．（本小题满分15分）解：因为，所以所以…………..3分在中，,所以，所以…………..5分（2）由，得，，………..7分因为,所以，所以，所以…………..9分所以在中,所以，得，…………………………………………………………....13分所以的面积.………………..15分17．（本小题满分15分）（1）由题可知X的所有取值为1，2，3，4，P(X＝1)＝eq\f(C\o(\s\up1(1),5)C\o(\s\up1(3),3),C\o(\s\up1(4),8))＝eq\f(5,70)＝eq\f(1,14)P(X＝2)＝eq\f(C\o(\s\up1(2),5)C\o(\s\up1(2),3),C\o(\s\up1(4),8))＝eq\f(30,70)＝eq\f(3,7)P(X＝3)＝eq\f(C\o(\s\up1(3),5)C\o(\s\up1(1),3),C\o(\s\up1(4),8))＝eq\f(30,70)＝eq\f(3,7)P(X＝4)＝eq\f(C\o(\s\up1(4),5)C\o(\s\up1(0),3),C\o(\s\up1(4),8))＝eq\f(5,70)＝eq\f(1,14)，………………………………8分故X的分布列为：X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)则E(X)＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2)．………………………………9分（2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C，…………………………………………………………10分由已知得，P(C)＝0.7，P(C|A)＝0.8，P(C|B)＝0.4，P(B)＝p，P(A)＝1－p，所以由全概率公式得P(C)＝P(A)·P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.8(1－p)＋0.4p＝0.8－0.4p＝0.7，…………14分解得p＝0.25．……………………………………………………………………15分18．（本小题满分17分）解：(1)h′(x)＝lnx＋1(x＞0)令h′(x)＝0则x＝eq\f(1,e)……………………………………………………………2分所以在(0，eq\f(1,e))上h′(x)＜0，h(x)递减；在(eq\f(1,e)，＋∞)上，h′(x)＞0，h(x)递增；所以函数h(x)有极小值h(eq\f(1,e))＝－eq\f(1,e)，函数没有极大值．（未写极大值扣1分）…………4分(2)设m(x)＝ln(x＋1)－ax(x≥0)，m(0)＝0m′(x)＝eq\f(1,x+1)－a当a≤0时,m′(x)＞0,m(x)单调递增，m(x)≥0，显然不满足.…………………………6分当0＜a＜1时,令m′(x)＝0,x0使m′(x0)＝0，在(0，x0)上，m(x)单调递增；在(x0，＋∞)上，m(x)单调递减，显然不成立；…………………………………………………………8分当a≥1时，m′(x)＜0，m(x)单调递减，m(x)≤m(0)=0；…………………………………10分综上：a≥1.………………………………………………………………………………11分(3)没有上界，理由如下：由(1)可知，ln(x＋1)≤x在[0，＋∞)上恒成立，令x＝eq\f(1,n)，则ln(eq\f(1,n)＋1)≤eq\f(1,n)，…………………………………………………………………13分所以ln(eq\f(1,1)＋1)＜eq\f(1,1)，ln(eq\f(1,2)＋1)＜eq\f(1,2)，ln(eq\f(1,3)＋1)＜eq\f(1,3)．．．ln(eq\f(1,n)＋1)＜eq\f(1,n)，…………………………15分将上式相加，ln(n＋1)＜1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋．．．＋eq\f(1,n)＝g(n)由于ln(n＋1)没有上界，故g(n)也没有上界.…………………………………………17分19．（本小题满分17分）解：（1）由离心率为eq\s\do1(\f(1,2))，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，由DE＝3得eq\f(2b2,a)＝3，解得a＝2，b＝eq\r(,3)所以故椭圆C的方程为eq\s\do1(\f(x2,4))＋eq\s\do1(\f(y2,3))＝1…………………………………………………………3分（2）由（1）可得A2(2,0)，连接MA2，因为S1－S2=S△MA1A2－S△MNA2=eq\s\do1(\f(3,2))，S△MA1O=eq\s\do1(\f(3,2))，所以S△NGA2=S△MOG，得S△NMA2=S△MOA2;所以ON∥MA2，所以直线ON的方程为，y＝－eq\f(3,2)x,……………………………………6分由eq\b\lc\{(\a\al(y＝－eq\f(3,2)x，,eq\s\do1(\f(x2,4))＋eq\s\do1(\f(y2,3))＝1．))得N(1,－eq\s\do1(\f(3,2)))，N(－1,eq\s\do1(\f(3,2)))（舍去）.所以|MN|=3…………………………………………………8分（3）设直线MN:y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2),P(x3，y3)，H(x0，y0)则Q(－x3，－y3).联立eq\b\lc\{(\a\al(y＝kx＋m，,eq\s\do1(\f(x2,4))＋eq\s\do1(\f(y2,3))＝1．))可得，(3+4k2)x2+8mkx+4m2－12＝0，所以，x1＋x2＝－eq\s\do1(\f(8mk,4k2+3))，x1x2＝eq\s\do1(\f(4m2－12,4k2+3))，………………………………………10分y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq\s\do1(\f(6m,4k2+3))Δ＝64m2k2＋16(m2－3)(4k2+3)＞0,得m2－3－4k2<0．所以中点H的坐标为(－eq\s\do1(\f(4mk,4k2+3))，eq\s\do1(\f(3m,4k2+3)))，所以kOH＝－eq\s\do1(\f(3,4k)),故直线OH：y＝－eq\s\do1(\f(3,4k))x.………………………………………12分由P，Q，M，N四点共圆，则|HM|·|HN|＝|HP|·|HQ|,………………………………14分由|HM|·|HN|=eq\s\do1(\f(1,4))|MN|2=eq\s\do1(\f(1,4))(1+k2)[(x1＋x2)2－x1x2]=12(1+k2).eq\s\do1(\f(4k2+3－m2,(4k2+3)2));联立eq\b\lc\{(\a\al(y＝－eq\s\do1(\f(3,4k))x，,eq\s\do1(\f(x2,4))＋eq\s\do1(\f(y2,3))＝1．))可得，x2＝eq\s\do1(\f(16k2,4k2+3))，所以x23＝eq\s\do1(\f(16k2,4k2+3))，所以|HP|·|HQ|=(1+eq\s\do1(\f(9,16k2)))|x20－x23|=(9+16k2).eq\s\do1(\f(4k2+3－m2,(4k2+3)2)),所以12(1+k2)=9+16k2得，k=±eq\f(eq\r(,3),2)……………………………………………………16分所有m2<3+4k2=6，得m∈(－eq\r(,6),eq\r(,6))，|MN|2=48(1+k2).eq\s\do1(\f(4k2+3－m2,(4k2+3)2))=eq\s\do1(\f(42－7m2,3))≤14即|MN|≤eq\r(14)…………………………………………………………………………17分