天津市南开中学2025届高三上学期10月月考数学试题（解析版）

高三数学学科第一次月考考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共45分）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（    ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据补集的运算求出，再由交集的运算可得答案.【详解】，则，所以.故选：.2.“”是“为第一象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.【详解】易知，所以为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，显然不满足充分性，满足必要性.故选：B3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出y=fx为奇函数，排除CD；由排除B，得到答案.【详解】定义域为R，，函数y=fx为奇函数，图象关于原点对称，排除CD；又，排除B.故选：A4.5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y（千只）0.50.81.01.21.5若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A.当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位B.线性回归方程中C.由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数D.可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）【答案】B【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断C选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B选项；根据回归方程判断AD选项.【详解】根据线性回归方程可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故A正确.由已知数据得，，代入中得到，故B错误；从数据看随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故C正确；将代入中得到，故D正确.故选：B.5.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.【详解】.故选：C6.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“”即可比较大小.【详解】，，.综上，．故选：B.7.已知函数的图象关于点中心对称，则（）A.直线是函数图象的对称轴B.区间上有两个极值点C.在区间上单调递减D.函数的图象可由向左平移个单位长度得到【答案】C【解析】【分析】利用整体代入法判断A，利用整体换元法判断B，利用三角函数的单调性判断C，利用三角函数平移的性质判断D即可.【详解】因为函数的图象关于点中心对称，所以，可得，结合，得，所以．对于A，，所以直线不是函数图象的对称轴，故A不正确；对于B，当时，，所以函数在区间上只有一个极值点，故B不正确；对于C，当时，，所以函数在区间上单调递减，故C正确；对于D，左移个单位长度后得到，故D错误．故选：C．8.已知是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得，因为是奇函数，是偶函数，所以，联立，解得，又因为对于任意的，都有成立，所以，即成立，构造，所以由上述过程可得在单调递增，若，则对称轴，解得；若，则在单调递增，满足题意；若a>0，则对称轴恒成立；综上，．故选：B9.已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先分析x∈0,2、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值.【详解】当x∈0,2时，，此时当时，，此时当时，，此时，结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：由图象可知，若要恒成立，只需要分析内图象即可，因为图象的对称性，不妨考虑时的情况，当时，，所以，当时，，所以或，结合图象，若成立，则有，所以，又因为若对任意，都有，则有，所以，所以，所以的最大值为，故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.复数的模为__________．【答案】##【解析】公众号：高中试卷君【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】．故答案为：11.的展开式中常数项为__________.【答案】【解析】【分析】写出其展开式的通项，然后令指数部分为0，求解即可.【详解】的二项展开式的通项为，令，得，其展开式的常数项为.故答案为：12.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且gx>0，结合二次函数列式求解即可.【详解】因为在定义域0,+∞内单调递增，由题意可得：在上单调递增，且gx>0，则a2≥4g14=23916+14a>0，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.13.某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率.【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有种，选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况种，故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为；任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为，而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为，故答案为：，14.若，，且，，则的值是______．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得的余弦值，结合角的范围即可求解.【详解】因为，所以，且，所以，则，且，由，所以，又，所以，则，所以，又，所以.故答案为:.15.若有四个零点，则实数的取值范围为______【答案】【解析】【分析】令，，将函数零点问题转化为函数与的图象交点问题，分类讨论时，函数与图象的交点个数，即可求解.【详解】由，得，即，令，，则函数有四个零点等价于函数与的图象有四个交点，若，则，由，解得，仅有两个零点，不满足题意；若，由，解得或，由，解得或，当，即时，如图①所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故有且仅有一个交点；在上，函数与函数有两个交点；同理，在上，有且仅有一个交点，所以函数与的图象有四个交点，函数有四个零点，满足题意；当，即时，如图②所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故有且仅有一个交点；在上，函数与函数有一个交点；同理，在上，没有交点，所以函数与的图象有两个交点，函数有两个零点，不满足题意；当，即时，如图③所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故有且仅有一个交点；在上，函数与函数有一个交点；同理，在上，没有交点，所以函数与的图象有两个交点，函数有两个零点，不满足题意；当，即时，当时，可化为，即，因为判别式，所以无解所以函数与的图象在上没有交点，如图④所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故有且仅有一个交点；在上，函数与函数没有交点；同理，在上，有且仅有一个交点，所以函数与的图象有两个交点，函数有两个零点，不满足题意；若，当，即时，如图⑤所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故有且仅有一个交点；在上，函数与函数有两个交点；同理，在上，有且仅有一个交点，所以函数与的图象有四个交点，函数有四个零点，满足题意；当，即时，如图⑥所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故没有交点；在上，函数与函数有且仅有一个交点；同理，在上，有且仅有一个交点，所以函数与的图象有两个交点，函数有两个零点，不满足题意；当，即时，如图⑦所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故没有交点；在上，函数与函数有且仅有一个交点；同理，在上，有且仅有一个交点，所以函数与的图象有两个交点，函数有两个零点，不满足题意；当，即时，当时，可化为，即，因为判别式，即无解所以函数与的图象在上没有交点，如图⑧所示，在上，由于函数的增长速度大于函数的增长速度，故有且仅有一个交点；在上，函数与函数没有交点；同理，在上，有且仅有一个交点，所以函数与的图象有两个交点，函数有两个零点，不满足题意；综上所述，实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点问题，关键在于将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，应用数形结合、分类讨论思想判断交点个数.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应公众号：高中试卷君写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.设且，函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可；（2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可.【小问1详解】当时，不等式可化为，若，则，解得，所以不等式的解集为；若，则，解得，所以不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；【小问2详解】由题意可知，令，即，因为，所以，所以，所以，设，则，因函数在上单调递减，所以，所以.17.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；【小问2详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则，.由，得，又，所以，则，故.故的值为.18.如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可.（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果.（3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】令，连接，由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，令，得，由轴平面，得平