广东省三校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测试题 数学 Word版含答案

2024-2025学年高二第一学期第一次月考数学科试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.如图所示，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体2.棱长为1的正四面体的表面积为（）A.3B.23C.33D.433.如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点，则（）A.直线HE与直线GF是异面直线B.直线HE与直线BB1是异面直线直线与直线CC共面直线与直线共面C.HE1D.HEBF4.底面积是π，侧面积是3π的圆锥的体积是（）2π22A.22πB.2πC.D.π335.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为B1C1中点，则异面直线BA1与퐶퐸所成角的余弦值为（）551010A.B.C.D.105105346.如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB4,AB2,AA，则该正四棱台的体积为1113（）112140112140A.B.C.D.99337.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?若1丈10尺，则葛藤最少长（）A.21尺B.25尺C.29尺D.33尺8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AA1，AB上的中点，且EF3，P点是正方形ABB1A1内的动点，若C1P∥平面CD1EF，则P点的轨迹长度为（）A.23B.3C.3D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9.已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（）A.若，l，则l∥B.若m，l∥m，l，则C.若∥，m，l，则lmD.若m，l∥，则l∥m10.在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器ABCDA1B1C1D1，如图（1），ABBC2，A1A5，在容器内灌进一些水D1H4DH，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A.有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B.棱A1D1与水面所在平面平行C.水面EFGH所在四边形的面积为定值D.当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为2211.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为2，则（）A.BF平面EAB20B.该二十四等边体的体积为3C.该二十四等边体外接球的表面积为6π2D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.如下图，三角形A'B'C'是三角形ABC的直观图，则三角形ABC的面积是_______.13.圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，则该圆柱外接球的表面积为______．14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是S2πRh.如图2，已知C,D是以AB为直径的圆上的两点，ππAOC,BOD，扇形COD的面积为π，则扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表63面积为__________.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.（1）求证：B，C，H，G四点共面；（2）求证：平面BCHG//平面A1EF；16.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.（1）若PAAMBM2，Q为PB的中点，求三棱锥QABM的体积；（2）求证：AN⊥平面PBM；（3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD,BCCD．（1）证明：三棱锥ABCD为鳖臑；（2）若E为AD上一点，点P,Q分别为BC,BE的中点．平面DPQ与平面ACD的交线为l．①证明：直线PQ//平面ACD；②判断PQ与l的位置关系，并证明你的结论．18.一块四棱锥木块如图所示，SD平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，且BAD60，AB2BC2SD4.（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA，在木料表面该怎样画线？并说明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19.空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体ππ每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为2π3π.如图，在直三棱柱332πABCABC中，点A的曲率为，M为CC的中点，且ABAC.11131（1）判断VABC的形状，并说明理由；（2）若AA12AB4，求点B到平面AB1M的距离；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：DLM2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.2024-2025学年高二第一学期第一次月考数学科试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】29π【14题答案】【答案】631π四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【16题答案】2【答案】（1）3（2）证明见解析（3）证明见解析【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【18题答案】【答案】（1）ED,EB即为要画的线，理由见解析；（2）610（3）5【19题答案】【答案】（1）VABC为等边三角形，理由见解析45（2）5（3）证明见解析