天津市南开区2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学 PDF版含答案

{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（一）参考答案高三年级数学学科一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案DCABBCACD二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）1−+343（10）−1；（11）−4；（12）0，；（13）31032119（14）a+b，；（15）−1或2，13+，．425三、解答题：（其他正确解法请比照给分）ππ（16）解：（Ⅰ）f(x)=2cos(2x+)+1，令−++π2kxkπ≤22≤π，kZ，332π解得−π+kπ≤x≤−+kπ，kZ，362π所以函数的单调递增区间为−+−+πkkπ，π，kZ．………………4分36π4π（Ⅱ）因为0，，所以2x+，，………………6分2331可得cos(2x+)−1，，………………10分2则2cos(2x+)+1[−1，2]，即函数f(x)在上的值域为[−1，2]．………………14分222222b+−cabc1（17）解：（Ⅰ）由b+c=a+bc，得cosA===，………………2分2bc2bc2π由A(0，)，所以A=．………………4分3（Ⅱ）（ⅰ）因为sinC=3sinB，所以由正弦定理得c=3b，①………………5分数学试卷参考答案第1页（共6页）{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}22又b+c=4+bc，②2767联立①②解得b=，c=．………………7分773644+−acb222+−57（ⅱ）由（ⅰ）知cosB===77．………………8分214ac6722721从而sinB=，………………9分1421153所以cos2B=2cosB−1=，sin2B=2sinBcosB=，………………11分1414π所以cos(A−2B)=cos(−2B)………………12分3=coscos2B+sinsin2B………………13分1313=+=．………………15分2214（18）解：（Ⅰ）如图，以A为原点，分别以AB，AD，AE方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系A−xyz，由题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)，G(0，1，2)，3M(0，，1)，N(1，0，2)，………………2分2则CF=(0，−2，2)，CG=(−2，−1，2)，MN=(1，−，1)，设平面CFG的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，，yz11=n1CF=0，−2yz11+2=0，则即解得1，nCG=0，−2x1−y1+2z1=0xz11=，12令z1=2，得n1=(1，2，2)，………………4分数学试卷参考答案第2页（共6页）{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}3所以n1•MN=(1，2，2)•(1，−，1)=0，………………5分2所以⊥n1，又MN平面CFG，………………6分所以MN∥平面CFG．………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线AN的一个方向向量为AN=(1，0，2)，平面CFG的一个法向量为n1=(1，2，2)，设直线AN与平面CFG所成角为，||n1AN110222++55则sin=|cos|====，22222||n1||AN12122+++3535所以直线AN与平面CFG所成角的正弦值为．………………10分3（Ⅲ）设平面CDG的一个法向量n2=(x2，y2，z2)，由（Ⅰ）可得CD=(−2，0，0)，CG=(−2，−1，2)，n2CD=0，−=20x2，x2=0，则即解得−−+=220xyz，yz=2，n2CG=0，22222令z2=1，得n2=(0，2，1)，………………12分设平面POB与平面PAB的夹角为，||nn1201+22+12625则cos=|cos|====，22222|nn12|||2+11+2+253525所以平面CDG与平面CFG夹角的余弦值为．………………15分5xa（19）解：（Ⅰ）由已知得f(x)=e−，………………1分x+10则f(0)=e−a=1−a，又f(0)=1，………………3分数学试卷参考答案第3页（共6页）{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}所以f(x)图象在点(0，f(0))处的切线方程为y=(1−a)x+1，将点(2，1)代入得1=2(1−a)+1，解得a=1．………………6分x（Ⅱ）所以f(x)=e−ln(x+1)，定义域为(−1，+∞)，………………7分xx1()x+−1e1所以f(x)=e−=，x+1x+1xx令g(x)=(x+1)e−1（x＞−1），则g(x)=(x+2)e，易得g(x)＞0在(−1，+∞)上恒成立，所以g(x)在(−1，+∞)上单调递增，………………10分又g(0)=0，………………11分所以当−1＜x＜0时，g(x)＜0，即f(x)＜0，f(x)在(−1，0)上单调递减，当x＞0时，g(x)＞0，即f(x)＞0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=1，无极大值．………………15分2x−1（20）解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=e+lnx+，定义域为(0，+∞)，xx−11212x−1则f(x)=e+−=xe1+−，xx2xxx−1令g(x)=xe+1−，x＞0，x−1则g(x)=(x+1)e+＞0，所以g(x)在(0，+∞)单调递增，0其中g(1)=e+1−2=0，故当0＜x＜1时，g(x)＜0，即f(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，g(x)＞0，即f(x)＞0，f(x)单调递增；数学试卷参考答案第4页（共6页）{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}21−1f(x)在x=1处取最小值，又f(1)=e+ln1+=3，1故f(x)的最小值为3．………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，f(x)min=3，即f(x)≥3成立；………………7分下面证明当0＜a＜1时，f(x)≥3也成立．x−12因为f(x)=ae+lnx+，定义域为(0，+∞)，axx−11212x−1所以f(x)=ae+−=axe1+−，xax2xax2x−1令h(x)=axe+1−，又0＜a＜1，ax2x−1则h(x)=a(x+1)e+＞0，所以h(x)在区间(0，+∞)单调递增，ax21()()−12aa+−211a其中h(1)=a+1−=＜0，且h=−e1＞0，aaa1由零点存在性定理及单调性可知，存在唯一实数x0(1，)，a221x0−1x0−1使h(x)=，即f(x)=0，则，①0ax0e10+−=0ae=−2ax0ax0x0当x(0，x0)时，h(x)＜0，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x(x0，+∞)时，h(x)＞0，f(x)＞0，f(x)单调递增；x0−12所以f(x)min=f(x0)=axeln++0，将①式代入可得，ax0212f(x)=，②………………11分02−+lnx0+ax0x00ax1下面先证ln1x0−，x0(1，)，x01令(x)=lnx+，x(1，+∞)，x11x−1则(x)=−=0，(x)在(1，+∞)单调递增，xxx22数学试卷参考答案第5页（共6页）{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}111则(x)＞(1)=1，即ln1x−，故当x0(1，)，ln1x0−．③xax0由②③式可得，2122222[()]11+−axf(x)=＞0，02−++lnx022−++=+11ax0xax00axax00xax0012又因为1＜x0＜，则ax0−[(1−a)x0+]=(ax0−1)(x0+)＜0，a2即(1−a)x0+＞ax0＞0，2[()]11+−ax0所以＞2+=3，所以f(x)＞3，则有f(x)≥f(x)=f(x)＞3．2+10min0ax0故当0＜a＜1时，f(x)≥3也成立．………………15分综上所述，当0＜a≤1时，f(x)≥3．………………16分数学试卷参考答案第6页（共6页）{#{QQABSYCAoggoQBJAAQhCAQFiCgCQkhEAAQgOwBAEIAAByQNABAA=}#}