辽宁省七校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考试题 数学 Word版含答案

辽宁省七校名校协作体2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题考试时间：120分钟 满分：150分命题校：瓦房店市高级中学、葫芦岛一高中一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2.若，则复数的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.3.由一组样本数据得到回归直线方程，那么下列说法正确的是（）A.若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱B.若越大，则两组变量的相关性越强C.回归直线方程至少经过样本数据中的一个D.在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，相应的观测值约增加个单位4.已知，则（）A. B. C. D.5.数列中，已知对任意自然数，则等于（）A. B. C. D.6.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（）A. B. C.[0，1] D.7.已知为的外心，，则的面积为（）A.5 B. C. D.68.已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.不共线，且，则.B.若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是C.已知，则在上的投影的坐标为D.已知点为的垂心，则10.为加强学生体质健康，某中学积极组织学生参加课外体育活动.现操场上甲、乙两人玩投篮游戏，每次由其中一人投篮，规则如下：若投中，则继续投篮，若未投中，则换另一人投篮.假设甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由掷两枚硬币的方式确定第一次投篮的人选（一正一反向上是甲投篮，同正或同反是乙投篮），以下选项正确的是（）A.第一次投篮的人是甲的概率为B.已知第二次投篮的人是乙的情况下，第一次投篮的人是甲的概率为C.第二次投篮的人是甲的概率为D.设第次投篮的人是甲的概率为，则11.已知，则（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是-1 D.的最小值是-2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：90，88，87，83，81，80，78，72，则这组数据的分位数是_____________.13.已知，且，则_____________.14.设，若时均有，则_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数.（1）化简:；（2）求函数的最小正周期和图象的对称中心;（3）求函数在上的单调递增区间.16.（15分）在中，内角所对的边分别是已知向量，，满足.（1）求;（2）若，求周长的取值范围;（3）若角的平分线交边BC于点，求面积的最小值.17.（15分）中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：男女合计了解20不了解2040合计（1）将列联表补充完整；（2）是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关;（3）若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差.附:，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.（17分）已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求;（3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数的最大值.19.（17分）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下.如果函数满足如下条件：①在闭区间[a，b]上的图象是连续的；②在开区间（a，b）上可导.则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.（1）已知且，（i）若恒成立，求实数的取值范围;（ii）当时，求证：.（2）已知函数有两个零点，记作，若，证明：2024-2025学年度（上）七校协作体11月高三联考数学参考答案一、单选：ABDA CBCB二、多选：9.BD 10.BCD 11.AD三、填空：12.87.5 13.2或64 14.四、解答：15.（1）.……………………（4分），所以的最小正周期；…………………………（7分）令，得，即图象的对称中心为.………………………………………………………………………………（9分）（3）令，得，令，得；令，得，所以函数在上的单调递增区间为.16.解：（1）由得：，再由正弦定理角化边得:，再由余弦定理得:，又因为，所以;……………………………………………………………………（3分）（2）由正弦定理及（1）得，.因此，周长的取值范围是.…………………………………………（9分）（3）由，又因为，角的平分线交边BC于点，所以有:，整理得:，由基本不等式得:，所以有:，且时取等号，即，即面积的最小值为.………………………………………………（15分）17.解：（1）由题得列联表如下：男女合计了解402060不了解202040合计6040100………………………………………………………………………………………（3分）（2）由（1）可得，所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关.………………（8分）（3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人，所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为，……（9分）则由题意可知，且，所以，，所以随机变量的分布列为0123……………………………………………………………………………………………………（13分）所以随机变量的数学期望为.………………………………………（14分）随机变量的方差为……………………………………（15分）18.解:（1）因为函数，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则有；……………………………………（4分）（2）由（1）可知:，所以;……（8分）（3）由（2）可知:，所以由，因为，所以由，……………………………………………………（11分）设，由，由二次函数性质可知：当时，函数是减函数，………………（14分），于是有时，，所以，因此，存在，使得成立，则有，因此实数的最大值为.……………………………………………………………………（17分）19.（1）（i）解:法一:由，且化简得，即，令，可知在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，令，显然在上单调递减，所以，即，故实数的取值范围为.……………………………（4分）法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得，故问题转化为恒成立.又，则恒成立，即恒成立，因为，故令，显然在上单调递减，所以，所以，故实数的取值范围为……（4分）（ii）证明：要证，即证，即证，又，由拉格朗日中值定理可知，存在，，.由题意知，当时，在上单调递增，则，故，即，所以命题得证.…………………………（8分）（2）函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根.令，所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根，…………………………………………（11分）所以，则，则由，得，所以，则，要证，即证，…………………………………………（12分）又，令，令，又，所以，故在上单调递增，所以，所以，故在上单调递减，所以，即，即，所以不等式得证.………………………………………………（17分）