贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高考适应性月考卷（三）数学试卷（含解析）

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若函数在区间内可导，且，则的值为（）A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（）A. B. C. D.4.在中，若，则为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.6.已知函数在上单调递增，则（）A. B. C. D.7.某校高二年级有80名同学参加2024年全国高中数学联赛，参赛的男生有45人，女生有35人.根据统计分析，男生成绩的平均数为，方差为，女生成绩的平均数为，方差为，参赛选手总体成绩的方差为，则（）A. B.C. D.8.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，则的最小值是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（）A. B. C. D.10.已知函数，则下列正确的是（）A.的图象关于点对称 B.的定义域为C.有两个零点 D.存在等差数列，满足11.已知，则下列说法正确的是（）A.若，，且，则B.存在，使得的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称C.当时，函数恰有三个零点，，，则的值是D.若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则的取值范围为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知命题：“，”为真命题，则的取值范围是______.13.如图，已知为双曲线右支上一点，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，，则四边形OAPB的面积为______.14.已知，，且，，则的值为______.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间.16.（本小题满分15分）如图，已知正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长都是2，过点B，D的平面满足.（1）作出平面截该正四棱锥所得的截面，要求写出作法并证明；（2）求平面与底面ABCD所成的锐二面角的大小.17.（本小题满分15分）已知函数，若存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对.（1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）已知为函数的“平衡”数对，求取最小值时的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点F为椭圆E的右焦点，过F作两条互相垂直的直线，且分别与椭圆E相交得到弦AB，CD.设弦AB，CD的中点分别为M，N.证明：直线MN必过定点.19.（本小题满分17分）某校组织了投篮活动帮助高三学生缓解压力，该活动的规则如下：①每个投篮人一次投一球，连续投多次；②当投中2次时，这个投篮人的投篮活动结束.已知某同学一次投篮命中率为，每次投篮之间相互独立.记该同学投篮次数为随机变量.（1）求该同学投篮次数为4次时结束比赛的概率；（2）求该同学投篮次数（不超过）的分布列；（3）在（2）的前提下，若，求的最小值.贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（三）数学评分细则一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BDCDACDA【解析】1.由题意得，，所以，即，故选B.2.，故选D.3.由已知得，则，故选C.4.若，则或，为等腰三角形或直角三角形，故选D.5.，，，因为函数在上单调递增，所以，故选A.6.因为在上单调递增，所以解得所以，故选C.7.设样本总体均值为，分层方差与整体方差关系：，所以，故选D.8.过，分别作准线的垂线交于，，延长AB交准线于，记准线与轴的交点为.由图可知：，，则化简得：，所以，当且仅当时取等，故选A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACACDBCD【解析】9.因为等差数列的前项和；等比数列的前项和且，所以等比数列的公比，即.不妨设，，是不为0的常数，则，，所以，，故选AC.10.对于A，因为，所以的图象关于点对称，A正确；对于B，由题知的定义域为，B错误；对于C，令，则，如图1，作函数与的图象知有两个交点，所以有两个零点，C正确；对于D，当时满足题意，D正确，故选ACD.11.因为，所以周期，对于A，由条件知，周期为，所以，故A错误；对于B，函数图象左移个单位长度后得到的函数为，其图象关于原点对称，则，解得，，又，所以，B正确；对于C，函数，令，，可得：，.，令，可得一条对称轴方程为，令，可得一条对称轴方程为，函数恰有三个零点，可知，关于其中一条对称轴是对称的，即，，关于其中一条对称轴是对称的，即，那么正确；对于D，令，由条件得，解得，故D正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案2【解析】12.由题知，，恒成立.当时，满足题意；当时，二次函数开口向下，不满足题意；当时，即可，解得.综上，.13.由题意得两条渐近线的方程分别为，.因为，，且，所以四边形OAPB为矩形.设，则，，所以.因为，所以.14.，且，.又，，，，.，.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）当时，，，……（2分）故.又，……（4分）所以所求切线方程为：，即.……（6分）（2）当时，.……（8分）令（舍负），……（10分）则+0-极大值的增区间为，减区间为.……（13分）16.（本小题满分15分）（1）证明：如图，连接AC交BD于，取线段SC的中点，取线段EC的中点，连接AE，OF.……（3分）在正方形ABCD中，，又.……（5分）平面ABCD于.又，平面.……（7分）又，平面BDF，故平面BDF即为所求平面.……（9分）（2）解：建系如图，，，由（1）可知，分别为平面，平面ABCD的法向量.……（11分）设平面与底面ABCD所成的锐二面角为，则，，（14分）故.……（15分）17.（本小题满分15分）解：（1）若，由题意对于定义域内的任意实数成立，即对于定义域内的任意实数成立，……（2分）即对任意的实数均成立，故，……（5分）故存在，使得为“可平衡”函数.……（6分）（2）假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则，.（9分）为函数的“平衡”数对，.……（11分）令，在上单调递减，……（13分）故当，即时，取最小值.……（15分）18.（本小题满分17分）解：（1）依题意，，且，所以，.……（3分）又椭圆E：过点，所以，所以椭圆的方程为.……（5分）（2）当直线AB不垂直于坐标轴时，设直线AB的方程为，，，由，得直线CD的方程为，……（6分）由消去得：，……（8分）则，，故，于是，由代替，得，……（10分）当，即时，直线，过点；……（12分）当，即时，直线MN的斜率为，……（14分）直线，令，，因此直线MN恒过点.……（16分）当直线AB，CD之一垂直于轴，另一条必垂直于轴，直线MN为轴，过点，所以直线MN恒过点.……（17分）19.（本小题满分17分）解：（1）根据题意，该同学投篮次数为4次时结束比赛，即投篮的前三次中只有一次投中，第四次必定投中，……（2分）所以投篮次数为4次时结束比赛的概率为.（4分）（2）依题意，随机变量的分布列如下表，234…………（9分）（3）由（2）得：，……（11分）化简得，即.记①，则②，由①-②，可得，即，解得，由此可得，，即.……（14分）设，因为，可得数列是递减数列.……（16分）又，，所以整数n的最小值为4.……（17分）