重庆市长寿中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含答案

重庆市长寿中学校2024-2025学年高二上第三学月测试数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．考试结束后，将答题卷交回．一．单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.如图所示，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，且已知，，，则线段的长为(    )A. B. C.或 D.或2.如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，为底面内的一个动点包括边界，底面，底面，且，则的最小值与最大值分别为(    )A.， B.， C.， D.，3.经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是(    )A. B. C. D.4.已知两直线，若，则与间的距离为(    )A. B. C. D.5.已知点，，则以为直径的圆的方程为(    )A. B.C. D.6.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，若为坐标原点，表示面积，则的离心率为(    )A. B. C. D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，且，，则的渐近线为(    )A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示，则   以线段为直径的圆与准线相切； 以为直径的圆经过焦点；若已知点的横坐标为，且已知点，则直线与该抛物线相切；，，其中点为坐标原点三点共线；则以上说法中正确的个数为(    )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是(    )A.B.平面C.异面直线与所成的角的余弦值为D.点到平面的距离为10.已知点，，曲线是满足的点的轨迹，，分别是曲线与圆上的动点，则下列说法正确的是(    )A.若曲线与圆有公共点，则B.若，则两曲线交点所在直线的方程为C.若，则的取值范围为D.若，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则存在点，使得11.在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内的一个动点，则下列说法正确的是(    )A.若，则点的轨迹是双曲线B.若，则点的轨迹是椭圆C.若，则点的轨迹是一条直线D.若，则点的轨迹是圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面内的动点到两定点，的距离分别为和，且，则点到直线的距离的取值范围为          ．13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为          ．14.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，，，，，则试用向量表示向量                    ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题13分如图，在棱长为的平行六面体中，．求线段的长度求直线与直线的夹角的余弦值．16.本小题15分已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且．求该抛物线的方程；为坐标原点，求的面积．17.本小题15分在平面直角坐标系中，已知，满足的点形成的曲线记为．求曲线的方程是直线上的动点，过点作曲线的切线，切点分别为，求切线长的最小值，并求出此时直线的方程．18.本小题17分若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆．若圆是集合的包络圆．(ⅰ)求，满足的关系式(ⅱ)若，求的取值范围若集合，的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标若不存在，请说明理由．19.本小题17分定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点． 求直线的方程；已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．求证：线段被直线平分；若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．数学答案1-5.CACDB6-8.DAD9.10.11.12.13.14.【答案】 15.解：如图所示：由图可知，因为棱长为，，因此由题意有．如图所示：，由可知，所以由题意有，，又，且可知，不妨设直线与直线的夹角为，所以，故直线与直线的夹角的余弦值为． 16.解：抛物线的焦点为，所以直线的方程为，由消去得，易得，所以，由抛物线定义得，即，所以，所以抛物线的方程为由知，方程，可化为，解得，，故，，所以，．则面积．17.解：由，即，得，化简得，，即曲线的方程为．由知曲线为圆，且圆心为，半径当与直线垂直时，切线长取得最小值．此时，所以切线长的最小值为．由解得即，所以四边形的外接圆是以为直径的圆的方程，即，即．所以直线的方程为，化简为，即． 18.解：因为圆是集合的包络圆，所以圆心到直线的距离为，即，所以．由，满足及，可得圆与直线有公共点，所以，解得，故的取值范围是．设，由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，即为与无关的定值，所以，，故C，此时，．所以的方程为，设，则，即，假设轴上存在定点，，使得，设，，则，所以解得或．所以，或，． 19.解：由已知，点在直线上，又因为直线过原点，所以所求直线的方程为：．方法：因为，所以设，则两式相减得，整理得，即，所以线段的中点在直线上．所以线段被直线平分．方法：因为，，所以设，由由根与系数的关系得，于是，从而，所以线段的中点在直线上，所以线段被直线平分．由可知为的中点，而为的中点，所以．由解得，设，由由，由根与系数的关系得．点到直线的距离，令，，则，当时，单调递增；当时，单调递减；所以，所以的最大值为．