四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学+答案

高2022级高三上学期12月阶段性测试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．若集合且，则（）A．B．C．D．2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，其中最小的是（）A．B．C．D．3．等比数列中，若，则的公比为（）A．B．C．2D．44．若圆与圆相交于A，B，则所在直线方程是（）A．B．C．D．5．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（）A．0.8B．0.5C．0.4D．0.16．若空间四点A，B，C，D共面而不共线，则这四点中（）A．必有三点共线B．至少有三点共线C．必有三点不共线D．不可能有三点共线7．若数列满足，其前n项和为，则（）A．既无最大值，又无最小值B．当且仅当时，取得最小值C．当且仅当时，取得最小值D．8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点F的弦长为9，则沿x轴将纸面折成平面角为60度的二面角后，空间中线段的长为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则一定有（）A．B．C．D．10．已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．时钟是伴随我们日常生活的必要物品．下面关于它的说法，正确的有（）A．一天24小时内时针和分针重合22次（第一天零点算第一次重合，第二天零点不再重复算）B．零点时针和分针算第一次重合，则第六次重合时大约在早上5点27分到5点28分之间C．设分针长度为10厘米，分别以分针指向表盘读数12和3的方向为y轴正半轴和x轴正半轴方向建立平面直角坐标系，以某天零点开始记（单位：分钟），若时钟正常工作，则在这之后，分针终点横坐标（单位：厘米）D．设下午5点20分时，时针和分针所成的锐角为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则___________．13．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为___________．14．与函数的解析式和值域相同，定义域不同的函数有___________个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知．（1）求角C的值；（2）若，求的面积．16．（本题15分）已知函数．（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．17．（本题15分）已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，E点在上且截面．（1）求证：平面；（2）求直线到平面的距离．18．（本题17分）已知无穷数列满足．（1）求的通项公式；（2）树德中学各班将要举行“辞2024旧岁，迎2025新年”的主题活动，要求有一些含学科元素的游戏或节目某班数学科代表想用这个数列，组织如下游戏：让参与同学在数列中随机抽取10项，如果在这10项中，至少有k项的值能被2025整除，则这个同学即中奖并得到小礼物（此构想由信息科代表协助编程完成，即抽取项的序号可由计算机产生随机数，抽取项的值能否被2025整除也由计算机来判断，游戏时同学只需要按一次键即可知道抽取和判断结果），（i）设随机变量表示抽取项中能被2025整除的项的个数，求；（ii）本着开心迎新年的原则，若要中奖概率大于90%，那么规定是否合理，若合理，请说明理由；若不合理，请给出一个合理的k取值方案．19．（本题17分）我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转公式：如图，平面直角坐标系中，已知点，设，角始边在x轴非负半轴，终边与重合，则可得，将绕坐标原点O逆时针旋转后，P点旋转到．（1）求证：；（2）已知曲线C是函数的图象，它是某双曲线绕原点O逆时针旋转后得到的，求C的离心率；（3）已知曲线是由某椭圆绕原点O逆时针旋转后所的斜椭圆，过点作与两坐标轴都不平行的直线交曲线E于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线E于点G、H，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．数学参考答案一、单项选择题1．A2．B3．D4．A5．C6．C7．D8．B二、多项选择题9．BD10．ABC11．ABD三、填空题12．13．（或）14．62四、解答题15．解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，则，又，所以．（6分）（2）在中，由余弦定理得，而，因此，又，解得，所以的面积．（13分）16．解：（1）当时，，所以的图象在处的切线方程为：．（7分）（2），若函数在上单调递增，则对于恒成立，即对于恒成立，令，当时，，则函数在上单调递增，所以，故．（15分）17．解：（1）与底面成相等的角，设P在面上射影为O，则有，且是的外心．是直角三角形，且O是斜边的中点，点和D点重合，即面．（7分）（2）法一：由（1）平面．又平面（亦可由三垂线定理说明）①．且．又，也是等腰直角三角形，，，截面，过的平面与平面交于，，②，由①②得：平面点到平面的距离即，，且由知E是中点，．P点到平面的距离为1．平面到平面的距离即为P点到面的距离，即为1．法二：截面，过的平面与平面交于，是中点，是中点，．由（1）平面，又平面，，且，，设C点到面的距离为h，．，平面到平面的距离即为C点到面的距离，即为1．方法三：建系，正确即可，此处略．（15分）18．解：（1）由已知：，又．（6分）（2）（i）由二项式定理，，要能被2025整除，需，则为正奇数．（10分）且是无穷数列，奇数项和偶数项一样多，所以随机抽取一项能被2025整除的概率是，且每次抽取相互独立，．（13分）（ii）设中奖概率为P，则，所以规定合理．（17分）（注：第（2）（i）问需完全归纳推理，如二项式定理，数学归纳法或其它方法均可．如果是通过强力计算前几项发现奇数项能被2025整除的规律的，属于不完全归纳，得2分）19．解：（1）证明：经过逆时针旋转到后，角终边与重合，所以，，得证．（4分）（2）法一：直接求离心率（抓住离心率与渐近线夹角即双曲线开口宽阔程度相关的本质）易知曲线C的渐近线是与y轴，它们夹角为，顺时针旋转回去后两渐近线夹角仍为，设曲线C的离心率为e，则．（10分）法二：先求双曲线标准方程，再求离心率（轨迹思想，旋转不改变形状）设曲线C上一点为，逆时针旋转后的点在的图象上，由（1）知：，若将以上坐标代入得：，即，化简即得曲线C的方程：，由于旋转不改变形状，所以曲线C的离心率为．（10分）（3）法一：先求标准椭圆方程选择一：用第（2）问法二的方法求（略）：选择二：由与交点为和，则，由与交点为和，则，所以．从而可得椭圆方程为，点Q旋转后的坐标为，（12分）当直线旋转后斜率不存时，，当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，旋转后，与椭圆方程联立，即，可得，，，（14分）设直线旋转后为，代入椭圆方程中，有，（16分）．（17分）法二：不求标准椭圆方程，直接从斜椭圆入手．设直线，与斜椭圆联立：有，（12分），（14分）设直线，代入斜椭圆，有，（16分），故．（17分）