天津市第二十五中学2024-2025学年高三上学期第二次月考（12月）数学试题

2024-2025学年第一学期第二次月考数学试卷一、单选题1．已知全集，，则集合B可能为（）A． B． C． D．2．“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）A． B． C． D．4．已知，，，则（）A． B． C． D．5．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，，则B．若m，n异面，，，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．已知数列满足：，，则=（）A． B．3 C．4 D．7．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（）A．函数的图象关于点中心对称B．函数的单调增区间为C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D．函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为8．如图，实心正方体的棱长为2，其中上、下底面的中心分别为Q，R．若从该正方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以R为顶点，以正方形的内切圆为底面，另一个圆锥以Q为顶点，以正方形的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）A． B． C． D．9．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（）A． B．为偶函数C．在上单调递增 D．函数有11个零点二、填空题10．已知复数，为z的共轭复数，则z的虚部为________．11．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角α的终边绕着原点按顺时针方向旋转后经过点，则________．12．已知圆心在x轴上的圆C与倾斜角为的直线相切于点则圆C的方程为________．13．在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为，则的面积为________．14．如图，平行四边形中，，E为的中点，P为线段上一点，且满足．则________；若的面积为，则的最小值为________．15．设函数（ⅰ）________；（ⅱ）若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是________．三、解答题16．在中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．（1）求；（2）若，求的面积．17．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点E是棱上靠近P端的三等分点，点F是棱上一点．（1）证明：平面；（2）求点F到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值．18．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）数列求的前n项和．19．设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，：（ⅰ）求（ⅱ）求．20．已知函数．（1）若曲线在点处的切线的斜率为-3，求a的值；（2）求的单调区间；（3）若，对任意，，不等式恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：题号123456789答案DDADBCCDC1．D【分析】先明确全集，分析集合B中的元素组成，可得答案．【详解】因为，因为，所以，所以．又，所以且．故选：D2．D【分析】根据指数函数的单调性以及不等式的性质、充分条件、必要条件的定义即可判断．【详解】取，，则，但，故不充分，取，，则，但，故不必要．故选：D．3．A【分析】根据题意，由给定的函数的图象，结合函数的单调性与奇偶性性质，结合排除法，即可求解．【详解】对于B中，函数，当时，可得，，所以，不满足图象，所以B错误；对于C中，函数的定义域为，又由所以函数为偶函数，此时函数的图象关于y轴对称，所以C错误；对于D中，函数，当时，可得，由反比例函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，所以D错误，经检验，选项A中函数满足图中的性质，所以A正确．故选：A．4．D【分析】根据对数函数及指数函数的单调性得出参数范围比较即可．【详解】因为，，，所以．故选：D．5．B【分析】由面面平行的定义可判断A；由异面直线定义、线面平行性质和面面平行的判定可判断B；由面面垂直的性质和线面垂直的性质可判断C；由面面垂直的性质可判断D．【详解】对于A选项：，，，则或m与n异面，故A错误；对于B选项：由，，由线面平行的性质可知，在平面β内存在一条直线m，使；同理，在平面α内存在一条直线n，使；由m，n异面可知，n与m相交，m与n相交；由面面平行的判定可知：．故B正确；对于C选项：，，由线面垂直的性质得，，由可得，或．故C错误；对于D选项：，，，若则由面面垂直的性质可得；若时，结论不成立．故D错误；故选：B【点睛】本题考查面面平行的判定与定义、线面平行的性质、面面垂直的性质和线面垂直的性质；线面关系与面面关系的灵活运用是求解本题的关键；属于中档题．6．C【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值．【详解】由，所以，所以，，…，，各式相加得：．故选：C7．C【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可．【详解】，由图可知，，可得，∴，∴，，故A正确；，解得，所以函数在单调递增，故B正确；函数的图象向左平移个单位长度得，，故C错误；，，当时，，此时有两个零点，即，可得，故D正确．故选：C．8．D【分析】计算出正方体体积、两圆锥的体积及其公共部分的体积即可得【详解】两圆锥的体积都为，则其公共部分为，故该正方体剩余部分的体积为．故选：D．9．C【分析】对于A选项：根据为奇函数，为偶函数，得到的对称中心、对称轴和周期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于B选项：根据关于对称和的周期为8，可得到关于直线对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可判断．【详解】因为为奇函数，所以关于点对称，即，因为为偶函数，所以关于直线对称，即，所以，所以，所以，可得到周期为8，对于A选项：因为，所以，所以，故选项A正确；对于B选项：因为关于直线对称，周期为8．所以关于直线对称，所以为偶函数，故B正确；对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误；对于D选项：画出函数与图象，可知这两个图象只有11个交点，所以函数有11个零点，故D选项正确．故选：C．【点睛】方法点睛：函数零点问题的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10．【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解．【详解】由，则z的共轭复数，则z的虚部为．故答案为：11．【分析】利用三角函数的定义结合正切的和角公式计算即可．【详解】设旋转后的角为β，则，，所以，故答案为：12．【分析】设圆心为，半径为，根据两点间距离公式，可的半径r，根据点斜式方程，可得直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d等于半径r，代入公式，化简计算，即可得答案．【详解】设圆心为，半径为，依题意可得，直线的方程为：，整理得，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，所以，解得，所以圆的方程为．故答案为：．13．【分析】利用中点坐标公式可设C坐标，结合两直线垂直的充要条件计算可得C，再由点斜式得直线方程，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可．【详解】不妨设的中点，则，易知直线存在斜率，所以而边上的高所在的直线方程为，所以有，，所以．由点到直线的距离公式知A到的距离为，由两点距离公式得，则的面积为．故答案为：14．【分析】设，，，由平面向量线性运算表示即可求出m，由结合基本不等式可得的最小值．【详解】设，，，则．∴，故，∴，即．由的面积为得，，故，∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为．故答案为：；．15．0【分析】（ⅰ）应用分段函数解析式，将自变量代入求值；（ⅱ）画出分段函数大致图象，数形结合判断实数，，，的范围，结合各分段对应函数的性质求得，，，即可求目标式的范围．【详解】（ⅰ）由，则；（ⅱ）由解析式可得函数大致图象如下：存在实数，，，满足，且，所以，而，有或（舍），又，故，，．由，可得，所以．故答案为：0，16．（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式及同角公式计算得解．（2）由正弦定理求出C，由和角的正弦公式求出，再利用三角形面积公式求解．【详解】（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又，因此，，由，得，即．又，且，所以．（2）由（1）及正弦定理，得，又，所以的面积．17．（1）证明见解析（2）（3）．【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；（3）利用空间向量计算面面夹角即可．【详解】（1）以点D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，则．又，可得，因为平面，所以平面．（2）因为平面，所以点F到平面的距离等于点A到平面的距离．易知，则点A到平面的距离为．（3）易知，，设平面的一个法向量为，则．即，令，，，则．设平面与平面的夹角为α，则故平面与平面的夹角的余弦值为．18．（1），；（2）；（3）．【分析】（1）设公差为d，公比为，根据已知列出方程可求出，，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出和的前n项和，加起来即可求出结果；（3）利用错位相减求和即可．【详解】（1）设公差为d，公比为，因为，则由可得，即，由可得，即，由得．所以有，整理可得，解得或（舍去）．所以，则，解得（舍去负值），所以．所以有，（2）由（1）知，，，则．（3）由（1）有，设的前n项和为，则，．两式相减得，所以．19．（1），（2）（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）第一问先对数列化简，再利用累乘法求出数列的积，第二问根据关系式的特点先裂项再利用裂项相消法求出数列的和．【详解】（1）设数列的首项为，公差为d，数列的公比为9，∵已知，，∴，∴或，∵，∴，∴．由，．解得：．，∴，；（Ⅱ）设则：（ⅰ）（ⅱ）由于：，，，故．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求数列求和，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，容易弄错数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．20．（1）（2）答案见解析（3）【分析】（1）根据导数的几何意义，，即可求解；（2）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调区间；（3）根据（1）的结论，由函数的单调性去绝对值，并构造函数，利用导数，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值．【详解】（1）∵x，∴，∵曲线在处的切线的斜率为-3，所以，∴；（2）定义域为，，当时，，故在上单调递减；当时，，，单调递增，，，单调递减．综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，递增区间为．（3）由（2）及可得，在上单调递增．不妨设，且，，则可化为，设，则，所以为上是增函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，对于函数，，当时，，故在上是增函数，所以，所以，即k的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是去绝对值，再构造函数．