2024-2025学年高一协作体期中联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集概念求出答案.【详解】.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据命题否定的定义判断.【详解】特称命题的否定是全称命题，因此命题“”的否定是故选：D.3.已知函数由下表给出，则等于（ ）x1≤x<22211.已知函数，且对任意的，当时，，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.在上是减函数 D.在上的最小值为【答案】AD【解析】【分析】根据赋值法即可求解AB，根据单调性的定义即可求证C，根据单调性，结合赋值法即可求解D.【详解】，令，则，解得，故A正确，令，，则，因为，解得；故B错误，令，，且，则，即因为当时，，故，所以，故，所以在上是增函数；故C错误，令，则令得由于在上是增函数，故在单调递增，故最小值为，故D正确，故选：AD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.定义域为_______．【答案】【解析】【分析】根据分式分母不为可求结果.【详解】因为中，所以，所以定义域为，故答案：.13.函数函数的单调减区间是________，在区间的最大值是_______．【答案】①.②.4【解析】【分析】由二次函数的对称轴及开口方向得单调性，由单调性可得最值．【详解】由题意，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线，因此减区间是，在区间上，时，递增，时，递减，因此，故答案为：；4.14.已知函数，若，，使得不等式成立，实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由题意将问题转化为，成立，利用二次函数的性质求解即可.【详解】若对任意，存在，使得不等式成立，即只需满足，，对称轴在递减，在递增，，对称轴，①即时，在递增，恒成立；②即时，在递减，在递增，，所以，故；③即时，在[0，1]递减，，所以，解得，综上.故答案为：【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，．（1）若a=1，求；（2）在①；②中任选一个作为已知，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解.（2）分析条件两个条件都是，列出不等式即可求出范围.小问1详解】当时，，则．【小问2详解】选条件①②，都有，∴解得，∴实数的取值范围为．16.解不等式（1）（2）（3）关于的不等式的解集是，求不等式的解集.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）解一元一次不等式即可；（2）根据分式不等式的解法计算即可；（3）根据一元二次不等式的解集与其对应方程的解之间的关系可得，进而所解的不等式为，解一元二次不等式即可.【小问1详解】由，则，解得，故不等式的解集为.【小问2详解】，又，解得或，因此不等式的解集为.【小问3详解】依题意，关于的不等式的解集是，所以，解得，不等式即，即，解得，所以不等式的解集为.17.（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式.【答案】（1）或；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解；（2）设，利用换元法求解析式即可；（3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可.【详解】（1）因为为一次函数，可设.所以.所以，解得或.所以或.（2）设，则，，即，所以，所以．（3）由①，用代替，得②，得：，即，.令，则，.则：，.所以，.18.某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费．（1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式；（2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？（3）该企业在维持生产条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？【答案】（1）；（2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元；（3）5年.【解析】【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解.（3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解.【小问1详解】当时，年利润；当时，；所以.【小问2详解】由（1）知，当时，，所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；当时，，当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而，所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元.【小问3详解】设最短用年后还清所有贷款，依题意，，解得，所以企业最短用5年还清所有贷款.19.已知函数.（1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在单调递增，证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立；（2）由参变量分离法可得，求出函数在0,4上的最大值，即可求得实数的取值范围；（3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围.【小问1详解】证明：当时，，任取、，且，则，，，，所以，，所以，函数在单调递增.【小问2详解】解：由题，因为，则，所以，，即，由（1）知，函数在单调递增，所以，当时，函数取最大值，即，所以，，则，因此，实数的取值范围是.【小问3详解】解：对任意的，任意的，恒成立，即，令，因为时，，则，所以，对任意的恒成立，令，则，解得，所以，实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.