天津市三校2024-2025学年高二上学期12月联考试题 数学（含答案）

2024-2025学年度高二年级第一学期联合考试数学试卷注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2、答I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评。第I卷（选择题，满分50分）一、选择题（本题共10小题，每小题只有一个选项符合要求。每题5分，共50分）1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.2.已知直线，与平行，则的值是（）A.0或1 B.1或 C.0或 D.3.圆在点处的切线方程为（）.A. B.C. D.4.抛物线过点，则的准线方程为（）A. B. C. D.5.如图，在直三棱柱中，若，，，则（）A. B.C. D.6.已知数列满足，，则（）A.3 B.7 C.8 D.97.在等差数列中，，，则公差为（）A.1 B.2 C.3 D.48.古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（）A. B.1 C. D.9.若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为，，若以线段为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限内的交点为，为坐标原点，，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.II卷（非选择题，满分100分）二、填空题11.已知，，则等于_____.12.在长方体.中，，，点为的中点，则点到平面的距离为_____.13.已知数列满足，，则等于_____.14.已知圆与圆相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为_____；②若弦长，则_____.15.已知抛物线C：的焦点为F，直线1与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则_____.三、解答题16.如图，在直三棱柱中，，，.（1）证明：;（2）求直线.与平面所成角的正弦值;（3）求平面.与平面的夹角的余弦值.17.在等差数列中，①已知，，求和;②已知，公差，，求;③已知，，求的通项公式.18.若数列的前项和为.（1）求数列的通项公式，（2）证明是等差数列.19.已知椭圆的焦点在轴上，一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于，两点（1）求椭圆的标准方程（2）当直线1的斜率为时，求弦长的值.20.已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程.2024-2025学年度高二年级第一学期联合考试数学答案与评分标准参考答案：题号12345678910答案ACDBBCCADB11.4412.13.714.-215.1316.（1）证明见解析（2）（3）【详解】（1）解：依题意，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，.，，因为，所以.（2）解：结合（1）得，，，设平面的法向量为，则令，得.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：结合（1），设平面的法向量为，则令，则，由（2）知平面的法向量为设平面和平面的夹角为，则.所以，平面与平面的夹角余弦值为.17.（1）①，.②③.【详解】（1）因为，所以公差.由，所以，故，.（2）由，，公差，，得，解得.（3）由已知可得，解得所以.18.（1）（2）证明略19.（1）（2）【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为，则，，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，则直线，联立，消去并整理得，设，，则，，所以.20.（1）（2）【详解】（1）由椭圆过点可知，，又得，即，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，，设直线的方程为，，联立，解得，所以，，由得，即，所以，所以，，所以，化简得，所以，所以直线的方程