四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024年12月绵阳南山中学2024年秋季高2023级12月月考数学试题命题人：黄菊，审题人：刘国松本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.研究下列问题，一般通过试验获取数据的是（）A．某城市元旦前后的气温B．某种新型电路元件使用寿命的测定C．电视台想知道某一个节目的收视率D．高中生日平均上网时间2.直线3xy10的倾斜角为（）A．30B．60C．120D．150x23.双曲线C:y21的渐近线方程为（）16xxA．y4xB．yC．yD．y16x4164.已知直线ax2y20与直线2xay30平行，则a（）A．±2B．2C．-2D．25．抛掷三枚硬币，若记“出现三个正面”、“两个正面一个反面”和“两个反面一个正面”分别为事件A、B和C，则下列说法错误的是（）7A．事件A、B和C两两互斥B．P(A)P(B)P(C)8C．事件A与事件是对立事件D．事件B与相互独立16．如图，在三棱锥BP∪CABC中，ABAC2，AP3，Aco∪sBABP∪CcosCAP，31cosBAC，E为BC的中点，F为AE的中点，O为的重心，AO与PF4相交于点G，则AG的长为（）ΔBCP4533A．B．1C．D．545试卷第1页，共4页7．已知抛物线的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，2|FB|与y轴的正半轴C交:y于=点2Sp，x(与p>准0线)l交于点T，且|FA|2|AS|，则（）|TS|27A．B．2C．D．3528.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e1，此时cosβe=cosα截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为5的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，CE2ES，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（）A．3B．522C．15D．632二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（）A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数B．甲得分的极差大于乙得分的极差C．甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数D．甲得分的方差大于乙得分的方差10.下列结论中正确的是（）A．已知直线l过点P2,3，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为xy50B．已知圆O:x2y24，圆C：(x2)2(y3)21，则圆O和圆C有4条公切线C．若直线l：xym0上存在点P，过点P作圆O：x2y24的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得APB为直角，则实数m的取值范围为4,4D．已知圆C：(x6)2y29，点M的坐标为2,4，过点N4,0作直线l交圆C于A，B两点，则MAMB的取值范围是8,12试卷第2页，共4页11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的表面上一个动点，则（）4A．当P在平面BCCB上运动时，三棱锥PAAD的体积为定值1113ππB．当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围是,11132C．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值是5D．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2π42三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.抛物线y6x2的焦点坐标为．13.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M为棱A1D1的中点，G为侧面CDD1C1的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且PGMQ，当PQ取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为．14.在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比1赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为.3四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率；(2)请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平.2216.（15分）已知圆C:x(y5)9，圆C1经过点M(1,3)，且与圆C相切于点N(0,2)．(1)求圆C1的标准方程；(2)已知直线l过点Q(1,2)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程．17.（15分）某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根试卷第3页，共4页据图形，请回答下列问题：(1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数；(2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）；(3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲3复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率52为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一3位同学复赛获一等奖的概率．18．（17分）如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，M，P分别是线段AD，BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.(1)求证：PQ//平面BCD；(2)当BCDC2，ADBD2时，求平面PQM与平面BCD夹角的余弦值；(3)在（2）的条件下，若G为△ABD内的动点，AB//平面QGM且QG与平面ABD所成的角最大，试确定点G的位置.19.（17分）由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆“相似”，并将特征三角形的相似比称为这两个椭圆的相似比．x2(1)求经过点2,2，且与椭圆y21相似的椭圆方程．2x2y2(2)已知椭圆C:1，椭圆C2与椭圆C1的相似比为3．143①若直线m与椭圆C1相切，且与椭圆C2交于A,B两点，求AB的取值范围；②过点1,0作斜率不为0的直线l与椭圆C1交于R,Q两点（R在Q的上方），直线l与椭圆C2交于S,P两点（S在P的上方）．是否存在直线l，使得5PS2RS7QS？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．试卷第4页，共4页