八省2025届高三“八省联考”考前猜想卷数学01全解全析

2025年1月“八省联考”考前猜想卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可得，又因为全集，所以，故选：D2．若复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题得，所以.故选：B3．在中，D是AB边上的中点，则=（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C4．设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，故选：A.5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径，高，侧面积，故选：D.6．下列说法正确的是（    ）A．若函数为奇函数，则B．函数在上是减函数C．若函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数为偶函数，且在0,+∞上是单调递增，则在上是单调递减【答案】D【解析】对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误；对于选项B：因为，所以函数在定义域上不是减函数，故B错误；对于选项C：因为函数的定义域为，即，则，所以函数的定义域为，故C错误；对于选项D：因为函数为偶函数，且在上是单调递增，所以在上是单调递减，故D正确；故选：D.7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为，所以因为函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递增，且，即.因为，所以，函数在上单调递增等价于或，所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.故选：C8．已知数列满足，．记数列的前项和为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，，，故，由累加法可得当时，，又因为当时，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得当时，，所以，所以．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育测试，其中甲班女生的成绩与乙班女生的成绩均服从正态分布，且，，则(    ).A． B．C． D．【答案】ACD【解析】选项A：由，得，故A正确；选项B：由，得，故B不正确；选项C：由于随机变量服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：，所以，故C正确；选项D：解法一：由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为直线：，，所以在正态曲线中，的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以，故D正确.解法二：因为，，所以，故D正确.故选：ACD.10．已知函数，下列说法正确的是（    ）A．函数的定义域为B．函数为偶函数C．函数的单调递增区间为D．函数的图像关于直线对称【答案】BD【解析】的定义域为：，，=；对于A，错误；对于B，，是偶函数，正确；对于C，不在定义域内，错误；对于D，二次函数的对称轴是x=-1，∴是关于x=-1对称的，正确；故选：BD.11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（   ）A．四叶草曲线有四条对称轴B．设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为D．四叶草曲线的面积小于【答案】ABD（更多试卷请关注微信公众号：智慧学库）【解析】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称；将换为方程不变，所以曲线关于轴对称；将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称；将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确；对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，则，即，当且仅当时取得最大值，故B正确；对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值，显然，，又，当且仅当时，等号成立，所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误；对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于，故D正确.故选：ABD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若直线与曲线相切，则实数的值为.【答案】【解析】设切点坐标为，由得，所以切线的斜率为：，所以曲线在处的切线方程为：，即，所以，所以，所以.故答案为：.13．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为.【答案】（更多试卷请关注微信公众号：智慧学库）【解析】设的半焦距为cc>0，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.  因为，所以也是的中点.设，由双曲线的定义得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案为：.14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则；.【答案】【解析】在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以；根据定义，对于整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在；；故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积(1)证明：(2)求.【答案】(1)证明见解析;(2)或【解析】（1）点在边上，且满足,所以，……………………………………………………3分，……………………………………………………………4分故，即；……………………………………………………………6分（2）由图可知，……………7分可得，解得或，……………9分1°当时，，；…………………11分2°当时，，；……………12分综上所述或.……………………………………………………………13分16．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有2200人.(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.【答案】(1)0.025，4000人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)212500【解析】（1）有频率分布直方图知即，解得……………………………………………………2分设总共调查了人，则，解得，即调查的总人数为4000人；……………………………………………5分（2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为，……………7分由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，所以设平均数为，则……………11分（3）由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为……………13分所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:……………15分17．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．(1)求椭圆的离心率；(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．【答案】(1)(2)【解析】（1），离心率为.…………………………………………………………5分（2）由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，…………………………………6分联立得，………………………………8分由，①………………………9分，，…………………………………………………11分由可得，②…………………………………………………12分由可得，③…………………………………………………13分联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．………15分18．（17分）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，E为CD的中点，．(1)证明：平面平面；(2)若，PC与平面所成的角为，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析;(2)【解析】（1）由四边形是直角梯形，，，，可得，，从而是等边三角形，，平分．为的中点，，，…………………………………3分又，，平面，平面………………4分平面，……………………………………………………………………5分平面，所以平面平面.…………………………………6分（2）在平面内作于，连接，平面，又平面，平面平面．因为平面平面，平面，平面为与平面所成的角，则，由题意得，，为的中点，．…………………………8分以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，……………………………9分假设在侧面内存在点，使得平面成立，设，由题意得，……………………………………………10分，，，由，得，……………………………………11分解得，满足题意，，，……………12分取，，，，，，…………………………………………………………15分求出点N到直线PD的距离为：.…………………………16分所以N点直线PD的距离为.…………………………………………………………17分19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，f″x是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)求曲线在处的曲率的平方；(2)求正弦曲线曲率的平方的最大值.(3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.【答案】(1);(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析（更多试卷请关注微信公众号：智慧学库）【解析】（1）因为，所以，，………………1分所以，………………………………………………3分.………………………………………………………………5分（2）由，，则，………………………6分，令，则，故，…………7分设，则，……………8分在时，递减，所以，最大值为1.……………10分（3）因为，，则.①当时，因为，所以在上单调递减.所以.所以在上无零点.……………………………………………………………12分②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，且.所以.设，，，,……………………………………………14分所以φx在上单调递减，在上单调递增.所以.所以，所以.所以在上存在一个零点.所以在有2个零点.……………………………………………………………16分综上所述，在上的零点个数为2…………………………………………17分