江西省宜春市上高二中2024-2025学年高二上学期12月月考试题数学试题

2026届高二年级第四次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．03．已知三个向量，，共面，则（）A． B． C． D．4．已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（）A．4B．C．D．5．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为上的一点，且，，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．7．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，过的中点作另一条直线交轴于点，若，且，则（）A．1 B． C．2 D．8．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．2 B． C． D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点，为线段上的动点，下列选项正确的是（）A.不存在使得 B.存在使面C.存在两个使与成角 D.任意满足10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（）A． B．的面积等于C．的斜率为 D．的离心率为11.已知点，直线，且，过点作直线的垂线，垂足为，则（）A.直线过定点B.的最大值为 C.的最小值为D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为.13．在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为．14．如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）（1）求准线为的抛物线标准方程；（6分）（2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为的双曲线标准方程.（7分）16.（15分）已知圆经过，，三点．（1）求的标准方程，并说明的圆心坐标与半径；（7分）（2）过点作圆的切线，求直线的方程．（8分）17．（15分）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（6分）（2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．（9分）18.（17分）如图，四棱柱中，侧棱底面，为棱的中点.（1）证明：平面；（4分）（2）求二面角的正弦值；（6分）（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.（7分）19．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.（1）求的方程；（4分）（2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）.①记，的面积分别为，，且，求点的坐标；（6分）②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.（7分）2026届高二年级第四次月考数学试题参考答案1.C 2.A 3.C 4.B 5．A 6.C 7.B 8．C9.BD10.BC11.ABD12．13．14.15.（1）；（2）【详解】（1）准线为的抛物线标准方程为；（2）设双曲线标准方程为，由实轴长为得，即，由渐近线得，即，故抛物线标准方程为.16.（1），圆心为，半径（2）【详解】（1）由题意可设圆的一般方程为，代入三点坐标可得解得所以圆的一般方程为，则圆的标准方程为．易得圆心为，半径．（2）当斜率不存在时，，满足题意，设切线的方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，故的方程为或．17.（1）；（2）【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可；（2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：，所以，点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为：．（2）直线的方程为：联立，消去后，得关于的一元二次方程，化简得，由题意知，解得或，由韦达定理可得，，所以，所以，化简得，解得，即，经检验符合题意.18.（1）证明见解析；（2）；（3）【详解】（1）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，则，故.，则，所以，又平面，所以平面.（2）由（1）得即为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，则，所以二面角的正弦值为.（3）设，则，因为轴垂直平面，则可取平面的法向量为，则，解得，所以.19．(1)(2)①或；②是，【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，，结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解.【详解】（1）由题意知解得，，    所以的方程为.（2）由题意可知，，，设，因为直线交于另外一点（不同于点），所以，又双曲线的渐近线为，故，解得，所以直线，即，由，消得，所以，解得，所以.①因为，，又，所以，解得或，即点的坐标为或.②直线，即，由，消得，，即，所以，解得，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，令，得，解得，所以直线恒过定点，又，即，又点是的中点，所以，所以是定值，且定值为.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问中的②小问，设，直线的方程分别为，，通过联直线与双曲线方程，求得两点坐标，进而求出直线的方程，再判断出直线过定点，即可求解.