四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学（理）试题

四川省宜宾市四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则的真子集共有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．设，则的虚部是A．2 B．1 C． D．3．设向量，，若，则A． B．-1 C． D．4．已知点是所在平面内一点，为边的中点，且，则A． B． C． D．5．某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩.若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.146．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大一些D．男生不喜欢理科的比为60%7．已知，则A． B．4 C． D．8．在，已知，，，则边上的高等于A． B． C． D．9．若函数()的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的最小值为A． B． C． D．10．已知是函数的零点，若，则的值满足A． B． C． D．的符号不确定11．设为抛物线的焦点，曲线与相交于点，直线恰与曲线相切于点，交的准线于点，则等于A． B． C． D．12．已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值等于______.14．已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.15．已知的展开式中的系数为5，则________.16．定义域为的偶函数满足，当时，，给出下列四个结论：①；②若，则；③函数在内有且仅有3个零点；④若，且，则的最小值为4.其中，正确结论的序号是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。17．（12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市名农民工(其中技术工、非技术工各名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在(百元)内，且月工资收入在(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:（1）求n的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名.①完成如下所示列联表技术工非技术工总计月工资不高于平均数50月工资高于平均数50总计5050100②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据:，其中.18．（12分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．(1)求A；(2)若，，求△ABC的面积．19．（12分）如图，在三棱锥中，为的中点.（1）证明:；（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求直线与所成角的余弦值.20．（12分）已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，，离心率为，椭圆C上的一点P到，的距离之和等于4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设，过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，若满足恒成立，求m的最小值.21．（12分）已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）当，讨论的零点个数；（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xy中，曲线C的参数方程为为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值.23．已知.（1）求证：；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围.四川省宜宾市四中高2023届高三上期末考试理科数学参考答案：1．B2．D3．C4．B5．D6．C7．C8．A9．B10．B11．B12．A13．14．15．116．①③17．解：（1）月工资收入在(百元)内的人数为月工资收入在(百元)内的频率为:；由频率分布直方图得:（2）①根据题意得到列联表:技术工非技术工总计月工资不高于平均数月工资高于平均数总计不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关.18解：（1）∵，，，∴．∴，即．∴．∵，∴．（2）在△ABD中，由，和余弦定理，得．∵D是AC的中点，∴∴，化简得，即．∵，∴，解得．∴．∴△ABC的面积为．19．解：（1）因为，所以有，所以三角形是直角三角形，而为斜边的中点.所以三角形的外心为点，因为，所以点在底面的射影是底面的外心，因此平面，而平面，因此有；（2）由（1）可知：平面，而平面，所以平面平面，过作，垂足为，因为平面平面，所以平面，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，设，所以，因此由，因此有，根据，可得或（舍去），故，因此点是线段的中点，取的中点，连接，则有，所以是直线与所成角（或补角），因为，，所以，由余弦定理可知：.20．解：（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，，解得，∴椭圆C的标准方程为：；（2）由（1）可知，设，，则，，，①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为，得，代入得，，或，，则，②当直线l不与x轴垂直时，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，，，令，，则，，又因函数在上是减函数，，综上：m的最小值为5.21．解：∵∴为偶函数，只需先研究,,,当，，当，，所以在单调递增，在，单调递减,所以根据偶函数图象关于轴对称，得在单调递增，在单调递减，故单调递减区间为：，；单调递增区间为：，.（2）,①时，在恒成立,∴在单调递增又，所以在上无零点②时，，使得，即.又在单调递减，所以，，，所以，单调递增，，单调递减，又，（i），即时在上无零点，又为偶函数，所以在上无零点，（ii），即.在上有1个零点，又为偶函数，所以在上有2个零点，综上所述，当时，在上有2个零点，当时，在上无零点.22．（1）将方程（为参数），消去参数后可得，∴曲线C的普通方程为，将，代入上式可得，∴曲线C的极坐标方程为．（2）设A，B两点的极坐标分别为，，由消去整理得，根据题意可得，是方程的两根，∴，，∴．∵直线l的普通方程为，∴圆C的圆心到直线l的距离为，又圆C的半径为，∴．23．（1），的最小值为.（2）由（1）知:的最大值等于,,当,“=”成立,即当时,取得最小值,当时,,又因为对任意实数都成立,所以,的取值范围.