【数学试卷】长沙市2023 年新高考适应性考试

长沙市2023年新高考适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．请保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z(1i)3i，则||zA.10B.5C.2D.22．设集合A{(xy,)|yx}，B{(xy,)|yx3}，则AB的元素个数是A．1B．2C．3D．413．已知alog1.8，blog3.6，c，则242A．abcB．acbC．bacD．bca14．(2)(12)x4的展开式中，常数项为xA．4B．6C．8D．105．在平行六面体ABCDA111BCD1中，已知AB4，AD3，AA15，BAD90，BAA11DAA60，则的值为A．10.5B．12.5C．22.5D．42.51tan()6．若41，则cos2的值为1tan()24A．3B．3C．4D．45555数学试题第1页（共6页）7．斐波那契数列{}Fn，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又*称为“兔子数列”，该数列{}Fn满足FF121，且FFFnNnnn21()．卢卡斯数列{}Ln是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L11，*且LFFnNnnn12()，则F20231111A．LLB．LL362022202437202220241112C．LLD．LL552022202455202220248．在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，Btt(0,)(0)，若该平面中不存在点P，同时满足两个条件||2||12PA22PO与||2||POPB，则t的取值范围是A．(0,61)B．(1,)6226666C．(1,1)D．(0,1)(1,+)2222二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．y229．已知双曲线的方程为x1，则6416A．渐近线方程为yx1B．焦距为852C．离心率为5D．焦点到渐近线的距离为8210．自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得2到经验回归方程为yx14.068.5，决定系数为R10.99；根据非线性回归模型0.163x2得到经验回归方程为y2132.9e，决定系数为R20.99，则下列说法正确的是数学试题第2页（共6页）A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B．由方程yx14.068.5可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPaC．由方程yx14.068.5可知，样本点(11,22.6)的残差为1.90.163xD．对比两个回归模型，结合实际情况，方程y2132.9e的预报效果更好11．已知函数yx1与yex相交于A，B两点，与yxln相交于C，D两点，若x1A，B，C，D四点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x12x，x34x，则x1A．xx120B．xx341C．xx13ln1D．x4e112．如图，已知ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥PBCED，则PCECEAADDBBA．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点P位置，满足平面PDE平面PBCC．当PBPC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为33D．当PB10时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为523数学试题第3页（共6页）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a(1,2)，b(2,2)，c(1,)，若cab(2)，则________．14．已知函数fx()2sin(x)(0)，若函数f()x的图象关于点(,0)中心对称，6且关于直线x轴对称，则的最小值为________．315．已知O为坐标原点，F为抛物线ypx22的焦点，过点F作倾斜角为60的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交S1于点D，设AOF，ADB的面积分别为S1，S2，则________．S2xx1,016．已知函数fx()，若关于x的方程f(())fxa恰有两个不相等的实ln(xx1),0x21根x1，x2，且x12x，则的取值范围是________．x12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列{}an为等差数列，数列{}bn为等比数列，满足a2ba1122，b22，ab3311．（1）求数列{}an，{}bn的通项公式；（2）求数列{}abnn的前n项和Sn．18．（本题满分12分）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，sinAsinBCsin已知．3acab（1）求角B的值；（2）若a2，求ABC的周长的取值范围．数学试题第4页（共6页）19．（本题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F平面EDC），四边形ABCD是正方形，ED平面ABCD，BFFE，且平面FEB平面EDB．（1）设M为棱EB的中点，证明：A，C，F，M四点共面；（2）若EDAB22，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值．20．（本题满分12分）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是3，44，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是3，2，且各个小组所有轮次553比赛的结果互不影响．（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．数学试题第5页（共6页）221．（本题满分12分）设A，B是椭圆xy21上异于P(0,1)的两点，且直线AB经2过坐标原点，直线PA，PB分别交直线yx2于C，D两点．（1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；（2）求PCD面积的最小值．22．（本题满分12分）已知函数fx()(2x231x)ex，其中x0．（1）求f()x的最大值；（2）若不等式ax21e|ln|xxa对于任意的x(0,)恒成立，求实数a的取值范围．数学试题第6页（共6页）