吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

高三数学期末试题一、选择题（每题5分，共计40分）1、已知集合，集合，则()A. B. C. D.2、中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,则走的路程少于30里开始于()A.第三天 B.第四天 C.第五天 D.第六天3、已知关于x的不等式的解集为，则的最大值是()A. B. C. D.4、已知三棱锥的外接球半径为R，且外接圆的面积为，若三棱锥体积的最大值为，则该球的体积为()A. B. C. D.5、已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c()，则的取值范围是().A. B. C. D.7．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（    ）A．B．在取得极小值，极小值为C．只有一个零点D．若在上恒成立，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知，为实数，则下列不等式正确的是A． B． C． D．10．设函数的最小正零点为，则（    ）A．的图象过定点B．的最小正周期为C．是等比数列D．的前10项和为11．在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（    ）A．开口向上的抛物线的方程为B．C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D．阴影区域的面积不大于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知命题：“，”为真命题，则的取值为.13．已知是定义在上的可导函数，若，则.14．二项式的展开式中，x的系数为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知，其中．(1)若函数在处的切线与轴平行，求的值；(2)求的极值点；16．（15分）已知向量，，函数.(1)求的单调递减区间；(2)将的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若函数，的图象与的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求的值.17.（15分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体.如图，三棱柱，平面，四棱锥为阳马，且，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18.（17分）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.19．在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点A，B（A在x轴上方），且．设点A在x轴上的射影为N，三角形ABN的面积为2（如图1）．（1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q．①求证：直线OQ的斜率为定值；②设直线OQ与椭圆相交于两点C，D（D在x轴的上方），点P为椭圆上异于A，B，C，D一点，直线PA交CD于点E，PC交AB于点F，如图2，求证：为定值．DBDDABBB9AC10ACD11BCD12．13．114．2015．【详解】（1）函数的定义域为，，因为函数在处的切线与x轴平行，所以，解得．（2）函数的定义域为，．令得或，所以当，即时，的解集为，的解集为，所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，是函数的极大值点，是函数的极小值点；当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格减，无极值点；当，即时，的解集为，的解集为，所以函数在区间和上严格减，在区间上严格增，是函数的极小值点，是函数的极大值点；综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点；当时，函数在区间上严格减，无极值点；当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点．16.【详解】（1），，令，，则，，所以的单调递减区间为，；（2）将的图象向左平移个单位后，得到，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后，得到，函数，的图象与的图象有三个交点坐标分别为，，且，则由已知结合图象的对称性，有，解得，∴.17【详解】（1）取中点，连接，，在中，因为，分别是，中点，所以，且，在平行四边形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）在线段上存在点，使得平面，取的中点，连，连，因为平面，平面，平面，所以，，在中，因为，分别是，中点，所以，又由（1）知，所以，，由得平面，故当点是线段的中点时，平面.此时，.18【详解】（1），定义域为，则，①当时，在上单调递增；②当时，当时，，在上单调递增；当时，在上单调递减.综上，①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，要证，只需证，由（1）得，，即证恒成立.令，则当时，单调递增，当时，单调递减，的最大值为，即.恒成立，原命题得证.19．（1）由题意知，可设，可得，即，所以，故，即，又椭圆经过，即，解得，所以椭圆的方程为.（2）设平行于AB的直线方程为，且，①联立，设，，得到，所以，，故直线OQ的斜率为（定值）.②由题意可知，，，联立，得，，设，直线斜率存在时，直线，联立，得，直线，联立，得，则，，所以因为，所以，代入上式得：.当斜率不存在时结果仍然成立，故​为定值．