辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期末双基测数学试卷及答案

{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}2025年大连市高三双基测试数学参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、单项选择题：1.C2.A3.B4.C5.B6.C7.A8.D二、多项选择题：9.AD10.ABD11.ABD三、填空题912.713.14.4√3+28第14题答案提示：满足|푥−푚|+|푦−푛|=푑的点(푥,푦)在以(푚,푛)为中心，对角线长为2푑的正方形上，如图（1）所示.1푓(푥)=|푎+1−sin푥|+|2푏+5−cos2푥|=|푎+1−sin푥|+|푏+2+sin2푥|，2令푡=sin푥,푡∈[−1,1]，则y=|푎+1−푡|+|푏+2−(−푡2)|为(푎+1,푏+2)到9(푡,−푡2),푡∈[−1,1]的曼哈顿距离.故数形结合如图（2）所示可得最小值为.8图（1）图（2）数学答案第1页（共7页）{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}四、解答题：15．（本小题满分13分）解析：（1）因为∠퐵퐴퐶=120°，퐴퐵=퐴퐶，所以∠퐴퐶퐷=30°，因为퐴퐷=퐷퐶，所以∠퐷퐴퐶=30°，因为∠퐵퐴퐶=120°，∠퐵퐴퐷=90°所以퐴퐷⊥퐴퐵，…………………………2分又因为平面푃퐴퐵⊥平面퐴퐵퐶，平面푃퐴퐵∩平面퐴퐵퐶=퐴퐵，퐴퐷⊂平面푃퐴퐷，所以퐴퐷⊥平面푃퐴퐵，…………………………………………………………………………………………4分又因为푃퐵⊂平面푃퐴퐵，所以푃퐵⊥퐴퐷．……………………………………………………5分（2）在平面푃퐴퐵内，过点퐴作퐴퐵的垂线交푃퐵于퐸，则퐴퐷⊥퐴퐸，以点퐴为坐标原点，ABA,,D퐴퐸⃗⃗⃗⃗⃗方向分别为푥,푦,푧轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系퐴−푥푦푧，不妨设퐴퐷=퐷퐶=1，则퐴퐶=√3，퐵퐴=퐴푃=√3，则3333퐴(0,0,0),퐶(−√,,0),퐷(0,1,0),푃(−√,0,)，퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗=22223133(−√,,0),퐷푃⃗⃗⃗⃗⃗=(−√,−1,)2222设平面푃퐴퐷的法向量为푚⃗⃗=(푥,푦,푧)，푦=0퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅푚⃗⃗=0,则{即{33，令x=3，可取푚⃗⃗=(√3,0,1)，……………………8分⃗⃗⃗⃗⃗−√푥+푧=0퐴푃⋅푚⃗⃗=0,22设平面푃퐷퐶的法向量为푛⃗=(푝,푞,푟)，√31퐷퐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅푛⃗=0,−푝+푞=0则{即{22，令푝=1，可得푛⃗=(1,√3,√3)，………………10分33퐷푃⃗⃗⃗⃗⃗⋅푛⃗=0,−√푝−푞+푟=0222321所以푐표푠⟨푚⃗⃗,푛⃗⟩=|√|=√，……………………………………………………………12分2×√77由图可知二面角퐴−푃퐷−퐶的平面角为钝角，21因此二面角퐴−푃퐷−퐶的余弦值为−√．………………………………………………13分716．（本小题满分15分）解析：（1）设椭圆C与其伴随双曲线Γ的离心率分别为푒1，푒2，2√3212依题意可得푎=4，푒=푒，即푒1=푒2，13234−푏214+푏2即=×，解得푏2=2，…………………………………………………………4分434푦2푥2푦2푥2所以椭圆C：+=1，则椭圆C伴随双曲线Γ的方程为−=1．………………6分4242数学答案第2页（共7页）{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}（2）由（1）可知퐹(0,√6)，直线푙的斜率存在，故设直线푙的斜率为푘，퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，则直线푙的方程푦=푘푥+√6，푦2푥2与双曲线−=1联立并消去푦，得(푘2−2)푥2+2√6푘푥+2=0，………………8分4222−2√6푘2则푘−2≠0，훥=16푘+16>0，푥+푥=，푥1푥2=，………………9分12푘2−2푘2−22푥푥=<0则푘2<2，……………………………………………………………10分12푘2−22224√푘+14√푘+1又|푥1−푥2|=√(푥1+푥2)−4푥1푥2==，√(푘2−2)22−푘24√푘2+1则|퐴퐵|=√1+푘2=8，解得푘2=1，…………………………………………12分2−푘21푆1|푂퐴||푂퐵|sin휃11又푆=|푂퐴||푂퐵|sin휃，所以=×=|푂퐴||푂퐵|cos휃=푂퐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅푂퐵⃗⃗⃗⃗⃗=2tan휃2tan휃22111(푥푥+푦푦)=[푥푥+(푘푥+√6)(푘푥+√6)]=[(1+푘2)푥푥+√6푘(푥+푥)+6]212122121221212푆因为푘2=1，所以=7．……………………………………………………………15分tan휃17.（本小题共15分）sin퐴sin퐶푎푐解析：（1）由+=1及正弦定理得+=1，sin퐵+sin퐶sin퐴+sin퐵푏+푐푎+푏푎2+푐2−푏21整理得푎2+푐2−푏2=푎푐，由余弦定理得cos퐵==，………………2分2푎푐2因为퐵∈(0,휋)，휋所以퐵=，……………………………………………………………………………4分32휋又퐴+퐵+퐶=휋，所以퐴+퐶=，则퐴−퐵=퐵−퐶，3所以퐴,퐵,퐶成等差数列．……………………………………………………………6分（2）方法一：由（1）可知：푎2+푐2−푏2=푎푐及푏=√3，푐−푎=√2，22得푏2=(푐−푎)2+푎푐，即(√3)=(√2)+푎푐，解得푎푐=1，…………………8分푎sin퐷在中，由正弦定理得=，△퐵퐶퐷퐶퐷sin∠퐶퐵퐷数学答案第3页（共7页）{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}푐sin퐷在中，由正弦定理得=，△퐴퐵퐷퐴퐷sin∠퐴퐵퐷푎푐由=得，……………………………………………………10分퐶퐷퐴퐷sin∠퐶퐵퐷=sin∠퐴퐵퐷所以∠퐶퐵퐷+∠퐴퐵퐷=휋，휋即∠퐶퐵퐷+∠퐴퐵퐶+∠퐶퐵퐷=휋，所以∠퐶퐵퐷=，…………………………………12分3设△퐴퐵퐷的面积为푆△퐴퐵퐷，111则푆=푐퐵퐷sin∠퐴퐵퐷=푐푎sin∠퐴퐵퐶+푎퐵퐷sin∠퐶퐵퐷，△퐴퐵퐷22222即푐퐵퐷=1+푎퐵퐷，又푐−푎=√2，解得퐵퐷=√，所以퐵퐷的长为.………………15分22方法二：由（1）可知：푎2+푐2−푏2=푎푐及푏=√3，푐−푎=√2，6+2得c=√√,…………………………………………………………………………………7分26−2푎=√√，…………………………………………………………………………………8分2푎2+3−푐2√2−√66−2在△퐴퐵퐶中，cos∠퐵퐶퐴==，则cos∠퐵퐶퐷=√√，…………………10分2√3푎446−26+2푎푐√√√√3−√3又=，则22，解得，………………………………………12分퐶퐷퐴퐷=퐶퐷=퐶퐷퐶퐷+√321在△퐵퐶퐷中，由余弦定理知퐵퐷2=푎2+퐶퐷2−2푎퐶퐷cos∠퐵퐶퐷=，22即퐵퐷=√，所以퐵퐷的长为.………………………………………………………15分218．（本小题共17分）1푥11−푥2解析：（1）欲证原不等式只需证ln푥−푥2<−，令퐹(푥)=ln푥−푥2，则퐹′(푥)=，令2e푥2푥퐹′(푥)>0，解得0<푥<1；令퐹′(푥)<0，解得푥>1，即퐹(푥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)1上单调递减，则퐹(푥)≤퐹(1)=−.……………………………………………………2分2푥푥−1令퐺(푥)=−（푥>0），则퐺′(푥)=，令퐺′(푥)<0，解得0<푥<1；令퐺′(푥)>0，解得e푥e푥푥>1，即퐺(푥)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，则퐺(푥)≥퐺(1)=1−.…………………………………………………………………………………………4分푒111푥又−<−，则ln푥−푥2<−，原不等式得证.……………………………………5分2푒2e푥푎2(푎−2)푥+푎（2）푚(푥)=푎ln푥−2ln(푥+1)，푚′(푥)=−=，푥푥+1푥(푥+1)푎令푚′(푥)=0，解得푥=，……………………………………………………………6分2−푎数学答案第4页（共7页）{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}푎因为0<푎<2,所以>0，又푥>0，2−푎当푥变化时，푚′(푥)，푚(푥)的变化情况如下表：푎푎푎푥(0,)(,+∞)2−푎2−푎2−푎푚′(푥)+0−푚(푥)↗极大值↘푎푎则函数푦=푚(푥)单调递增区间是(0,)，单调递减区间是(,+∞)，………………8分2−푎2−푎即푚(푥)的最大值为푎푎푎푚()=푎ln−2ln(+1)=푎ln푎+(2−푎)ln(2−푎)−2ln2.………9分（不化简不2−푎2−푎2−푎扣分）（3）设ℎ(푎)=푎ln푎+(2−푎)ln(2−푎)，(0<푎<2)，ℎ′(푎)=ln푎−ln(2−푎)，令ℎ′(푎)=0，解得푎=1.又0<푎<2，当푎变化时，ℎ′(푎)，ℎ(푎)的变化情况如下表：푎(0,1)1(1,2)ℎ′(푎)−0ℎ(푎)↘极小值↗而ℎ(1)=0，则푎ln푎+(2−푎)ln(2−푎)≥0，………………………………………11分122332푛−12푛−1当푛≥2时，要证()()()⋯()>1，푛푛푛푛122332푛−12푛−1两边同时取对数，即证ln[()()()⋯()]>ln1，即证푛푛푛푛2푛−1푘∑푘⋅ln()>0푛푘=12两边同时乘以，即证푛2푛−1푘푘2∑()⋅ln()>0푛푛푘=1而2푛−1푘푘2∑()⋅ln()푛푛푘=12푛−12푛−1푘푘2푛−푘2푛−푘=∑()⋅ln()+∑()⋅ln()푛푛푛푛푘=1푘=1数学答案第5页（共7页）{#{QQABIYaAggAIQAJAARgCUwXiCgGQkgCACSgGgBAAIAAACQFABCA=}#}2푛−1푘푘푘푘=∑[()⋅ln()+(2−)⋅ln(2−)]푛푛푛푛푘=1………………15分又푎ln푎+(2−푎)ln(2−푎)≥0，푘푘令푎=，(푘=1，2⋯，2푛−1)，∈(0,2)，代入上式，푛푛푘푘푘푘得()⋅ln()+(2−)⋅ln(2−)≥0，且只有在푘=푛时等号成立，所以有푛푛푛푛2푛−1푘푘푘푘∑[()⋅ln()+(2−)⋅ln(2−)]>0푛푛푛푛푘=1原不等式得证.………………………………………………………………………………17分19.（本小题满分17分）431541651−−−解析：（1）因为===，，，312422532−−−1所以数列1，2，3，4，5，6的所有商子列为21，3，4；2，4，5；3，5，6.………………………………………………………3分aa−ll++211（2）由题意，，从而aaaallll+++211−−，푙∈{1,2,…,푛−2}，…………4分aall+1−因为1ijkn，所以푎−푎(푎−푎)+(푎−푎)+⋯+(푎−푎)(푘−푗)(푎−푎)푘푗=푘푘−1푘−1푘−2푗+1푗≥푗+1푗=푎−푎，……………………6分푘−푗푘−푗푘−푗푗+1푗푎−푎(푎−푎)+(푎−