★2025年1月20日2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测数学本试卷分第I卷（选择题）和第u卷（非选择题）两部分。考生作答时,将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答翅卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合用={1,2},N={4eKllog2（2%T）W2I.则MC/V等于A.{B.|2}C.|l,2；D.02i-2.已知i为虚数单位，若z=f；,则z・z等于1+1A.EB.2C.-2iD.2i3.已知%b是夹角为120。的两个单位向量,若向量a+Xb在向量a上的投影向量为2a,则A等于…八2。^273A.-2B.2C.——D.——334.若3sin(?r-a)-4cosa=0,贝lj1-cos2a等于A12732A，25B-25峰D行5.已知随机变班X服从正态分布N（2,/），且P（21.5）等于A.0.14B.0.62C,0.72D.0.866.函数y=sin奶;+cos（ux（3>0）的图象向左平移7■个单位长度后与函数y=2cos0且aXl),若/(%)有最小值,则实数。取值范围是#>2(3](31(31(31(3A.0彳B-byC.(O,1)Ul,yD,0,yU1,—V2V2R8.已知。为坐标原点，双曲线C：\-《=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别是K,B，离心率为一，点ab2P(盯中)是。的右支上异于顶点的一点，过尸2作乙F1P尸2的平分线的垂线,垂足是M,IMOI=《，若双曲线C上一点T满足酊•不=5,则点7到双曲线C的两条渐近线距离之和为A.2^2B.2百C.275D.2痣二、选择题,本题共3小题,每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9,12,8,16,16,18,20,向12.13,则这组数据的A.众数为12B,平均数为14C.中位数为14.5D.第85百分位数为1610.已知抛物线C：y2=4x的焦点为匕过点(7,0)的直线I与抛物线C交于A,B两点,设直线I的斜率为3则下列选项正确的有A.0<凶<1B.若以线段43为直径的圆过点3则31=46C.若以线段为直径的圆与y轴相切，则以81=3D.若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物年线相切11.已知函数/(%)和其导函数g(“)的定义域都是R,若/(%)-)与g(2x+l)均为偶函数，则下列选项正确的有A./(0)=0B.”•关于点(0,1)对称xC.g(2023)=1D.(g(l)-l)x(g(2)+l)+(g(2)-l)x(g(3)+l)+-+(g(2023)-l)x(g(2024)+l)=0第II卷三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.12.在(2%+l)y-l)3的展开式中，//的系数为.13.若直线夕=2%为曲线y=e的一条切线，则ab的最大值为.高三数学试题第2页(共4页)14.某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个,产品合格率为87%.为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月份的基础上提高4%,产品合格率比去年12月份增加0.4%,计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长,那么该工厂的月不合格产品个数达到最大是两年内的第月.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在锐角AABC中，角C所对的边分别为％6,4且人钻。的面积S=AB,ACsinA.(D求角4；(2)若。=次，求b+c的取值范围.16.(本小题满分15分)设｛%｝是等差数列，［瓦｝是等比数列.已知a产，=4也=。2+1,％=2。3-4.(1)求I4］和的通项公式；(2)数列｛%｝和仍」的项从小到大依次排列(相等项计两项)得到新数列匕｝，求|c」的前50项的和.17.(本小题满分15分)2023年9月26日，第十四届中国(合肥)国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题,共设有5个省内展园,26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车骑自行车和步行三种方式游园.(1)若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为X,求X的分布列及数学期望E(X)；(2)为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：____游园方式游园结果^^观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种,求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.高三数学试题第3页(共4页)18.(本小题满分17分)已知函数/(%)=ln(x+1)---(a>0).x+1(1)若4=1是函数/(%)的一个极值点，求a的值；(2)若/(%)20在［0,+8)上恒成立，求a的取值范围；、2024(3)证明(:20卷24>e(e为自然对数的底数).19.(本小题满分17分)已如动点P与定点4(%0)的距离和P到定直线*=上的距离的比为常数m”.其中20,九>0,且m#,记点P的轨迹为曲线C.n(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点B(-/n,0)，若曲线C上两动点M,N妈右靠轴上方〃aV,且4N与BM相交于点Q.①当加=24,九=4时，求证:占r+焉的值及取约的周长均为定值；\AM\\BN\②当加>九时，记A4BQ的面积为S,其内切圆半径为r,说探突是皆存在常数A,使得S=A亘成立？若存在，求出A(用zn/表示)的值;若不存在,请说明理由.高三数学试题第4页(共4页)2024-2025学年普通高中高三第二次教学质量检测数学参考答案一.选择题;本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【详解】由对数函数的性质可得：不等式嗨(2%-1)W2成立,需要满足0<2k1W2?=4,解得:•，即八』+弓，且M=U,2},则1,2},故选:C.2.【详解】因为2¥^\二更严=1,所以上J,1+i(l+i)•(1-i)2z•z=(1+i)•(l-i)=2.故选:B.3.【详解】a+M在向量a上投影向量为..----«=2a=>-----；-----=2.\a\~\a\~=>(a+Xb)*a=\a\~+X\a\•IZ>Icosl20°=1—^-A=2=>A=-2.故选:AsinQ44.［详解】因为3sin(7r-a)=4cosa=0,所以3sinai-4costt=0,所以lana=---=—,cosa316j、2x—而I”1O,0.2xo.22sin-a2tan~a932所以l-cos2a=1-(l-2sina)=2sina=—--------=—；------=——=—.sin^a+cosatan^a+116257+1故选:D5.［详解］随机变量X服从正态分布N(2,。2),且P(21.5)=1-0.14=0.86,故选:D.不ar6.【详解】函数尸VJsin@v+coss:=2sinwx+—图象向左平移丁个单位长度后,V6；6ZS/»•「(77、77彳导y=2sin|0算+—+—的图象,LI6.TT77由已知得2sin+一=2cos(dx+一,616)7T=cosa)x+—,\6).(7777=sinu)x+—+—I62,~万,7T所以~^-=2上万+5，人eZ,所以3=12L+3,人e,因为侬>0,所以0)的最小值为3,故选:C.7.【详解】由于函数/(%)有最小值,则函数r=(a-2)%+2a+l在区间(-8,2］±不为增函数，可得Q-2W0.(5/W2当a=2时,/(%)=,,<22<5,此时函数/(乃无最小值；,2,%>2当a-2<0时，即当a<2时，函数y-(a-2)x+2a+l在区间(-8,2］上为减函数,①若函数丁=2.一在(2,+8)上为增函数，则a>\,♦33且有2(q-2)+2q+1W2a,即2a-3WO,解得aW5,此时］0,所以,2(a-2)+2a+100,即4a-3W0,解得aW—，此时0