湖南省岳阳市2025届高三上学期教学质量监测（一）数学答案

岳阳市2024-2025学年度高三年级质量监测（一）数学参考答案及评分标准一.二.选择题题号1234567891011答案DCBCADCBBCDADBCD三．填空题312.；2；13.an43n14e14.,1∪.4e2四.解答题15.解析：（1）3asinCacosCbc，利用正弦定理可得3sinAsinCsinAcosCsinBsinC，................2分π又sinBsinAC，则2sinA1，6ππ5π又A666ππ即A，所以A................6分663AD2BD2AB2AD2DC2AC2（2）由D为BC中点，可知0,即2ADBD2ADDC2222ACAB2ADBD，又2b2-a24，AD3，所以c2，................9分1b2c2a2又cosA，可得b2................11分22bc113则ABC的面积为bcsinA43................13分222p16.解析：（1）y22pxp0的焦点在x轴上，为,0................1分2直线2x3y20与x轴的交点坐标为1,0，................2分p则1，即p2................4分2{#{QQABKYYAogCgAhAAARhCAQFyCAEQkBGACSgGwEAYoAAAyAFABAA=}#}所以抛物线为y24x................5分（2）法一：由题意可知AB所在直线斜率不为0，................6分设，所在直线方程为，联立2，化简可得：A(x1,y1),B(x2,y2)ABxmyny4xy24my4n0，则y1y24n，16m216n0...........（*）................10分yyy.y1616又1212分kOA.kOB.222...............13x1x2y1.y2y1.y24n16则n2，满足（*）式即直线AB恒过点2,0................15分y2y2法二：当直线AB的斜率不存在时，设A(0,y)，B(0,y)，404016y2所以0，所以2，所以直线的方程为；分kOAkOB42y08ABx2................8y0当直线的斜率存在时，设，所在直线方程为ABA(x1,y1),B(x2,y2)ABykxb(k0,b0)，联立y24x，化简可得：k2x2(2kb4)xb20，由题意可知(2kb4)24k2b21616kb0即kb1............（*）；................9分42kbb2由韦达定理知xx，xx，................10分12k212k2yyk2xxkb(xx)b24k所以121212，kOAkOB2x1x2x1x2b所以b2k，满足（*）式；...............13分所以AB所在直线方程为ykx2kk(x2)综上,直线AB恒过点2,0...............15分17.解析：（1）BC23，E为边BC的中点，EC3，...............1分π又在△DCE中，CD6，BCD，4由余弦定理可得ED3，即DEC90，则BCDE，.............3分又ABCD为平行四边形，所以AD//BC,则DEAD，又平面PAD底面ABCD{#{QQABKYYAogCgAhAAARhCAQFyCAEQkBGACSgGwEAYoAAAyAFABAA=}#}所以DE平面PAD所以DEPA...............6分（2）法一：取AD的中点O,又PAPD所以POAD，DE//BO,又平面PAD底面ABCD所以PO底面ABCD所以POBC，POBO..............8分而BOBCπ所以PBO即为二面角P-BC-D的平面角，PBO.............10分3又△POB为直角三角形，OB3所以OP3，..............11分3设在线段AB上存在点M，使得M到平面PBC的距离为，且BMt41△PBC为直角三角形，S23236△PBC213π6Stsin23t..............13分△BCM242131又VSV3SM-PBC34△PBCP-MBC3△BCM6解得t，即M为AB中点..............15分2法二：取AD的中点O,又PAPD所以POAD，又平面PAD底面ABCD所以PO底面ABCD又DE//BO,所以BOOA所以OP,OA,OB两两垂直。..............8分如图，以O为坐标原点，以OA,OB,OP所在直线为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系：{#{QQABKYYAogCgAhAAARhCAQFyCAEQkBGACSgGwEAYoAAAyAFABAA=}#}O0,0,0，A3，0,0，B0,3，0，C23,3，0设OPm，则P0,0,m,BP0,3,m,BC23,0,0，设平面的法向量为PBCnx1，y1，z1nBP0则nBC0取，则，y1mn0,m,3又平面ABCD的一个法向量为p0，0，1..............11分π31则coscosn,p，得m3，即PO3..............12分3m232则平面PBC的一个法向量为n0，3，3，设MBAB，则MB3,3,03MBn33则，4n231解得，2即M为AB中点..............15分18.解析：（1）fx的定义域为R，fxex6k，..............1分当k0时，fx0，fx在R上单调递增..............2分当k0时，由fx0,得x，ln6k，由fx0,得xln6k，，..............3分综上，当k0时，fx在R上单调递增;当k0时，fx在，ln6k上单调递减，在ln6k，上单调递增...............4分（2）hxfxgxex6k3kx2，hxex6kx,hxex6k,..............5分{#{QQABKYYAogCgAhAAARhCAQFyCAEQkBGACSgGwEAYoAAAyAFABAA=}#}当k1时，hxex6,x，ln6时hx单调递减，xln6，时，hx单调递增，，分hxminhln666ln60..............7又h010;x时,hx,所以hx分别在,ln6和ln6，上存在唯一的变号零点，即hx有两个极值点..............9分6k3kx2（3）x3x2xxfxgxe6kxkx1,xe6k3kxe1xe又00，x0为一个零点，..............10分①若k0,则x0,x在定义域内单调递增，又00，所以x只有一个零点。..............11分6k3kx2②若x2x，k0,xe6k3kxe1xe6k3kx26kx6k3kx23kx22x2令x1，xexexex又x22x20,则x0,即x单调递增，016k..............12分1i.当k时，即016k0，当x,0时，x0,x单调递减；当6x0,时，x0,x单调递增，x的最小值为00，函数只有一个零点。..............13分1ii.当0k时，即016k0，当x时，x，所以存在唯一x0，61使得，所以当单调递减，当x10x，x1时，x0,x单调递增又，xx1，时，x0,x.x100x时，x所以x有两个零点。..............15分{#{QQABKYYAogCgAhAAARhCAQFyCAEQkBGACSgGwEAYoAAAyAFABAA=}#}1iii.当k时，即016k0，当x时，x0，所以存在唯一x0，使62得，所以当单调递减，当x20x，x2时，x0,x单调递增，又，xx2，时，x0,xx200x时，x所以x有两个零点...............16分11所以,x有且仅有两个零点时，k或0k..............17分6619.解析：(1)第三项为111321，第五项为132113111221。..............4分16（2）819①m为一位数时，第2项为两位数，不符合..............5分②m为两位数时，即m为aa时，第二项为2a，当a大于2时第二项小于第一项，此时有7个符合。当m由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合。..............6分③m为三位数时，即m为aaa时，第二项为3a，第二项小于第一项，此时有9个符合。当m由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合。.............7分综上，总共有16个数列符合，在所有数列中含0的数有9+9+162=180个，故总数为999-180=819个，16故第二项小于第一项的概率为。..............9分819（）证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为3iai.若只有一个数字串，即，则。若，则为位数，①mma1aaaaaaa26aa6a34；若，则，，两种都不存在连续项单调递减。a3a2a6a326a41216a34.............11分若只有两个数字串，即，则。②mma1aabbpq6,aba2paqbp个q个若，则至少三个数字串，至少是位数，，不存在连续项单调递减。paa2a36a3a24若。此时，同理或，否则。paa2aaqbqaqba3a2若，则，。当时，。当qbab6a2aabba2,b4a32224,a43214a3{#{QQABKYYAogCgAhAAARhCAQFyCAEQkBGACSgGwEAYoAAAyAFABAA=}#}时，，两种都不存在连续项单调递减。a4,b2a32422,a4121422a34若，则，，。若，则，不符合题意。qa2a6,a3a2333ba3331bb1a4a3若，则，，此时，存在连续项b1a42321a512131211a4a1a2a3a4a54单调递减。..............13分若只有三个数字串，即，③mma1aabbccpqr6,ab,bcp个q个r个，若，则至少四个数字串，，不存在连续项单调递减。a2paqb