浙江强基联盟2025届高三下学期2月联考数学答案

浙江强基联盟２０２５年２月高三联考数学卷参考答案与评分标准１．Ｃ 犃＝｛狓｜－１＜狓＜３｝∴犃∩犅＝｛０，１，２｝．故选Ｃ．狕－２２２．Ｄ ＝ｉ，狕（１－ｉ）＝２，狕＝＝１＋ｉ．故选Ｄ．狕１－ｉ３．Ｃ 由犪＝（４，０），犫＝（狓，３），犪＋２犫＝（４＋２狓，６），犪－犫＝（４－狓，－３），由条件得（犪＋２犫）·（犪－犫）＝０，解得狓＝１．故选Ｃ．１８槡３４．Ｂ 由条件得，圆锥底面半径狉＝２，母线长４，所以犺＝２３，体积犞＝狊犺＝π．故选Ｂ．槡３３７５．Ｄ 由ｓｉｎ（α＋）＋ｓｉｎ（α－）＝２ｓｉｎαｃｏｓ，解得ｓｉｎ（α－）＝－．故选Ｄ．ββββ２５２２狔０－狓０狔０＋狓０狔０－狓０６．Ｂ 设犕（狓０，狔０），则犚（，０），犛（，０），故｜犗犚｜·｜犗犛｜＝２＝２．故选Ｂ．狔０－１狔０＋１狔０－１ｌｎ狓１３７．Ａ 犳（狓）·犳（－狓）≥０等价于（２犪狓－ｌｎ狓）·［２狓２－（２犪＋３）狓＋２］≥０，即２犪－·狓＋－犪＋≥０，故（狓）［狓（２）］ｌｎ狓ｌｎ狓烄２犪－≥０，烄２犪－≤０，狓狓１有烅或烅在狓∈，＋∞上恒成立，故犪的取值范围为１３１３（２）狓＋－犪＋≥０，狓＋－犪＋≤０，烆狓（２）烆狓（２）１１，．故选Ａ．［２ｅ２］８．Ａ 对于Ａ，（３，２，１）经过甲操作可以变为（３，２），（３，１），（３，１，１），（２，２，１），（１，２，１）或（１，１，２，１），对于（３，２），乙操作成（２，２）；对于（３，１），乙操作成（１，１）；对于（３，１，１），乙操作成（１，１，１，１）；对于（２，２，１），乙操作成（２，２）；对于（１，２，１），乙操作成（１，１）；对于（１，１，２，１），乙操作成（１，１，１，１）．无论如何乙都能赢；对于Ｂ，甲将（４，２）操作为（２，２），此时乙可以操作为（２），（２，１），（１，２），甲必胜；对于Ｃ，甲将（２，１，１）操作为（１，１），甲必胜；对于Ｄ，甲将（５，３）操作为（１，２，３），由Ａ知甲必胜．故选Ａ．９．ＢＤ 数据８，６，４，１１，３，７，９，１０的上四分位数为９．５，故Ａ错误；由犘（犇）＝１－犘（犇犆）可知犘（犇犆）＝犘（犇）．故犘（犆犇）＝犘（犆）·犘（犇），即犆，犇相互独立，Ｂ正确；散点不一定在回归直线上，故Ｃ错误；由于狀（＾）２∑狔犻－狔犻２犻＝１＾＾＾＾＾＾＾犚＝１－狀，狔犻变成了狔犻＋３，狔′＝狔＋３，狔犻′＝犫′狓犻＋犪′＝犫狓犻＋犪＋３＝狔犻＋３，从而狔犻－狔犻，２（狔犻－狔）犻∑＝１２′２狔犻－狔都不变，所以犚＝犚，Ｄ正确．故选ＢＤ．π２ｓｉｎ狓槡２１０．ＡＣＤ 由于犳（狓）＝，曲线狔＝犳（狓）存在对称轴狓＝１，故Ａ正确；若曲线狔＝犳（狓）存在对称中心，（狓－１）２＋２π槡２ｓｉｎ狓槡１－ｃｏｓπ狓２槡２则结合选项Ａ可知，犳（狓）为周期函数，不可能，故Ｂ错误；由于犳（狓）＝＝≤，故选狓２－２狓＋３（狓－１）２＋２２ππ槡２ｓｉｎ狓ｓｉｎ狓犳（狓）２槡２２π槡２项Ｃ正确；当狓＝０时等号成立，当狓≠０有＝＝＜π＜狓狓［（狓－１）２＋２］２π（狓－１）２＋２４狓２３，故Ｄ正确．故选ＡＣＤ．２狓狓０狔狔０１１．ＡＢＤ 设犘（狓０，狔０），则直线犕犖的方程为＋＝１，又由于２狓０＋３狔０＋１２＝０，故有狓０（２狓－３狔）－９４３狓狓１狔狔１１８（狔＋１）＝０，故直线犕犖过定点犚－，－１，故Ａ正确；设犙（狓１，狔１），则犙处的切线为＋＝１，令（２）９４数学卷参考答案 第 １页（共４页）{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}书４（狓１＋３）４（３－狓１）→→→→狓＝±３得犅１－３，，犅２３，，而犉１（－槡５，０），故犉１犅１·犉１犅２＝０，同理犉２犅１·犉２犅２＝０，所（３狔１）（３狔１）２以犉１，犉２，犅１，犅２四点共圆，所以Ｂ正确；当犕犖∥犾时，直线犕犖的方程为狔＝－狓－２，可以验证此时有３犚犕＝犚犖，故Ｃ不正确；由圆的相交弦定理和椭圆的光学性质可知犙犅１·犙犅２＝犙犉１·犙犉２≤２犙犉１＋犙犉２＝９，等号在犙为短轴端点时取到，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ．（２）犫２１２．３在Ｒｔ△犘犉１犉２中，｜犘犉２｜－｜犘犉１｜＝｜犘犉１｜，即＝２犪，可得犲＝３．槡犪槡３２２２槡２１３． 设两个抛物线相切于（狓０，狔０），狔＝狓＋犪在该点处的切线为狔＝２狓０狓－狓０＋犪，狔＝狓在该点处的切８２槡２槡２１槡２３线为狔０狔＝（狓０＋狓），所以２狓０＝，可得狔０＝，狓０＝，从而犪＝．４４狔０２４８１３６７１６２５３４１４． 法一：０个红格，共２种；１个红格，共Ｃ７２种；２个红格，共Ｃ６２种；３个红格，共Ｃ５２种；４个红格，２４３７１６２５３４４３４３２＋Ｃ７２＋Ｃ６２＋Ｃ５２＋Ｃ４２１３６共Ｃ４２种，所以犘＝＝；３７２４３法二：设狀个格，相邻的格不染红色染法数为犪狀，则犪狀＝２犪狀－１＋２犪狀－２，由犪１＝３，犪２＝８，可知犪７＝１２２４，故相１２２４１３６邻的格不染红色的概率为犘＝＝．３７２４３１５．解：（１）由正弦定理得ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆＋槡３ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆－ｓｉｎ犅－ｓｉｎ犆＝０．因为ｓｉｎ犅＝ｓｉｎ（π－犃－犆）＝ｓｉｎ（犃＋犆）＝ｓｉｎ犃ｃｏｓ犆＋ｃｏｓ犃ｓｉｎ犆，所以槡３ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆－ｃｏｓ犃ｓｉｎ犆－ｓｉｎ犆＝０．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分由于ｓｉｎ犆≠０，∴槡３ｓｉｎ犃－ｃｏｓ犃－１＝０．π１所以ｓｉｎ犃－＝．（６）２π又０＜犃＜π，故犃＝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分３１（２）（Ⅰ）∵犕是犅犆的中点，犃→犕＝（犃→犅＋犃→犆）．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分２１２１２２槡３９｜犃→犕｜＝（犃→犅＋犃→犆）＝（犃→犅＋２犃→犅·犃→犆＋犃→犆）＝．!!!!!!!!!!!!!!８分槡４槡４２（Ⅱ）∵犕，犖分别是犅犆，犃犆的中点，１１犃→犕＝（犃→犅＋犃→犆），犅→犖＝犃→犖－犃→犅＝犃→犆－犃→犅．２２犃→犕·犅→犖所以犃→犕与犅→犖的夹角等于∠犕犘犖，∴ｃｏｓ∠犕犘犖＝．｜犃→犕｜｜犅→犖｜１１１１１１∵犃→犕·犅→犖＝（犃→犅＋犃→犆）·犃→犆－犃→犅＝犃→犅·犃→犆－犃→犅２＋犃→犆２－犃→犅·犃→犆＝３，２（２）４２４２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分２１１２２槡２１｜犅→犖｜＝犃→犆－犃→犅＝犃→犆－犃→犅·犃→犆＋犃→犅＝，槡（２）槡４２３４槡９１∴ｃｏｓ∠犕犘犖＝＝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１３分３９２１９１槡×槡２２狆１６．解：（１）由｜犕犉｜＝狓犕＋＝３，可得狆＝２，２所以抛物线犆的方程为狔２＝４狓．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分（２）设犃犅：狓＝犿狔－１，犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），狓＝犿狔－１，由得狔２－４犿狔＋４＝０，｛狔２＝４狓，数学卷参考答案 第 ２页（共４页）{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}所以狔１＋狔２＝４犿，狔１狔２＝４．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分狔１狔２２犿狔１狔２－２（狔１＋狔２）则犽犉犃＋犽犉犅＝＋＝＝０，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１３分狓１－１狓２－１（狓１－１）（狓２－１）所以狓＝１是∠犃犉犅的角平分线．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分１７．解：（１）证明：在梯形犃犅犆犇中，连接犅犇交犆犈于一点，因为犅犈＝犆犇且犅犈∥犆犇，所以四边形犆犇犅犈为平行四边形，所以犅犇与犆犈的交点即为犆犈中点犕．由已知可得，犃犅＝２，犃犇＝４，∠犅犃犇＝６０°，所以犃犅⊥犅犇，!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分又犃犅∥犆犇，犘犇⊥犆犇，所以犃犅⊥平面犘犅犇，又犘犕平面犘犅犇，所以犃犅⊥犘犕．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２）由（１）知，犆犇⊥平面犘犇犕，如图，以犇为坐标原点，分别以犇犅，犇犆为狓，狔轴，垂直于底面犃犅犆犇的直线为狕轴，建立空间直角坐标系，则犃（２槡３，－２，０），犆（０，１，０），!!!!!!!!!!７分狓１狕狓５狕设犘（狓，０，狕），则犖，，，犃→犖＝－２３，，，（２２２）（２槡２２）平面犘犇犕的一个法向量为狀＝（０，１，０），!!!!!!!!!!!!９分设直线犃犖与平面犘犇犕所成角为θ，５｜狀·犃→犖｜２则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈狀，犃→犖〉｜＝＝→２２｜犃犖‖狀｜狓２５狕－２槡３＋＋槡（２）４（２）１５＝槡，６２化简得（狓－４槡３）＋狕２＝３５．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分２由｜犘犃｜＝槡１５，可得（狓－２槡３）＋狕２＝１１，求得狓＝槡３，狕＝２槡２．!!!!!!!!!!!!!!!１３分１１故犞＝犛犃犅犆犇犺＝×３３×２２＝２６．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１５分３３槡槡槡１８．解：（１）因为函数犳（狓）是偶函数，所以犳（－狓）＝犳（狓）．２２即３狓－８ｓｉｎ（－狓＋φ）＝３狓－８ｓｉｎ（狓＋φ），π解得：＝±．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分φ２２（２）当φ＝０时，犳（狓）＝３狓－８ｓｉｎ狓．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分犳（０）＝０，犳′（狓）＝６狓－８ｃｏｓ狓，犳″（狓）＝６＋８ｓｉｎ狓．当狓≥π时，犳（狓）＞３π２－８＞０，当０＜狓＜π时，犳″（狓）＝６＋８ｓｉｎ狓＞０，犳′（狓）单调递增，又犳′（０）＝－８＜０，犳′（π）＝６π＋８＞０，所以存在狓１∈（０，π），使得犳′（狓１）＝０．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分狓∈（０，狓１），犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减，狓∈（狓１，＋∞），犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增，２而犳（０）＝０，犳（狓１）＜０，犳（π）＝３π＞０，所以在（狓１，π）上存在一个零点．综上，函数犳（狓）在［０，＋∞）有两个零点．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分２４π２２（３）当狓≥π时，犳（狓）＞－８＞０；当０≤狓＜π时，犳（０）＝－８ｓｉｎ≥０，３３３φ则φ∈［－π，０］．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分２π（ⅰ）当∈－π，－时，狓＋∈［－π，０），ｓｉｎ（狓＋）＜０，犳（狓）＞０成立；!!!!!!!!!!!１２分φ［３］φφ２ππ（ⅱ）当∈－，－时，φ（３２］π２π若狓∈，，则犳′（狓）＝６狓－８ｃｏｓ（狓＋）＞３π－８＞０，犳（狓）单调递增，［２３］φπ３π２所以犳（狓）＞犳＝－８ｃｏｓ＞０；（２）４φ数学卷参考答案第 ３页（共４页）{#{QQABKQQEggCgABBAAQgCAQ1ACAKQkBGACYoGwFAcMAABAAFABAA=}#}π２π若狓∈０，，则狓＋∈－，０，ｓｉｎ（狓＋）＜０，犳（狓）＞０成立；［２）φ（３）φπ（ⅲ）当∈－，０时，若ｓｉｎ（狓＋）≤０，则犳（狓）≥０成立；φ（２］φ只要考虑ｓｉｎ（狓＋φ）＞０，此时犳″（狓）＝６＋８ｓｉｎ（狓＋φ）＞０，犳′（狓）递增，犳′（０）＝－８ｃｏｓφ＜０，π犳′＝３π＋８ｓｉｎ＞０，（２）φπ所以存在狓０∈０，，使得犳′（狓０）＝６狓０－８ｃｏｓ（狓０＋）＝０，（２）φπ若狓∈（０，狓０），则犳′（狓）＜０，犳（狓）递减；若狓∈狓０，，则犳′（狓）＞０，犳（狓）递增．（２）２２９２２槡３所以犳（狓）≥犳（狓０）＝３狓０－８ｓｉｎ（狓０＋）＝３狓０－８１－狓０≥０，解得狓０≥．φ槡１６３３槡３πππ２槡３此时ｃｏｓ（狓０＋）＝狓０≥，所以狓０＋≤，从而≤－狓０≤－．φ４２φ６φ６６３π２槡３综上，φ∈－π，－．!!!