湖南省佩佩教育2025届2月高三开学联考数学+答案

佩佩教育2025届2月湖南高三联考数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A.射线上B.射线上C.直线上D.直线上3.已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（）A.2B.C.D.14.设，则（）A.B.C.D.5.数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（）A.B.C.D.6.已知函数的最小正周期为，且函数为奇函数，则当时，曲线与的交点个数为（）A.3B.4C.5D.67.设函数，当时，方程有且只有一个实根，则（）A.2B.1C.D.8.在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（）A.B.2C.3D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现次品的件数的一组样本数据：，则（）A.极差是4B.众数等于平均数C.方差是2D.第25百分位数为1210.设点是曲线上一点，曲线在点处的切线为，则（）A.，函数为奇函数B.，函数有且仅有一个极小值点C.当时，直线与两坐标轴围成的图形面积为8D.当时，直线与直线和所围成的图形面积为811.某学习小组用曲线：和抛物线部分曲线围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于两点，点是坐标原点，点是或上的动点，下列说法正确的是（）A.B.C.D.的最大值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若，则__________.13.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为__________.14.已知，且，则的最大值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的面积.16.（本小题满分15分）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求：（1）甲在每轮比赛中获胜的概率；（2）甲前二轮累计得分恰为4分的概率.17.（本小题满分15分）如图，在多面体中，的中点为.（1）求证：四点共面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数和的图象在处有相同的切线.（1）求实数和的值；（2）求函数的极值；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值集合.19.（本小题满分17分）已知椭圆经过点，其右顶点为，上顶点为为坐标原点，且离心率为.（1）设在点处的切线，其斜率为的斜率为，求的值；（2）过在第一象限的点作椭圆的切线，分别与轴，轴交于点，且为线段的中点，记以点为中心，轴，轴为对称轴，且过点的椭圆为，依此类推，，，过椭圆在第一象限的点作椭圆的切线，分别与轴，轴交于点，，且为线段的中点，记以点为中心，轴，轴为对称轴，且过点，的椭圆为，由此得到一系列椭圆.（i）求的方程；（ii）过点作直线与椭圆分别交于，求证：.（附：若为椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为：）佩佩教育·2025届2月湖南高三联考卷数学参考答案1.C【解析】因为，由，解得，则，所以，故选C.2.A【解析】设，故选A.3.B【解析】设，又，所以，所以当时，，故选B.4.D【解析】因为，其中，所以，所以，故选D.5.A【解析】依题意得，，所以，所以，所以当或8时，取得最大值为，故选A.6.B【解析】由已知函数的最小正周期为，得.所以，其中，且，又由为奇函数知函数图象的一个对称中心为，则有，解得，所以，所以，即.画出与图象如图所示：由图可知，曲线.与交点个数为4，故选B.7.D【解析】由得，.令，则原问题等价于有且仅有一个零点.因为，所以为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得.当时，则.因为，当且仅当时，等号成立，所以，即有且仅有一个零点0，所以符合题意，故选D.8.B【解析】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱.因为与所成的角为，所以或.设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，于是，所以.在中，，在中，由余弦定理得，所以当时，外接球的半径会更小，此时，所以，所以，故它的外接球半径的最小值为2，故选B.9.ABD【解析】数据从小到大排列为：.对于选项A，该组数据的极差为，故A正确；对于选项B，众数为13，平均数为，所以众数与平均数相等，故B正确；对于选项C，方差，故C错误；对于选项D，由，则第25百分位数为12，故D正确，故选ABD.10.ACD【解析】对于选项A，因为，故A正确；对于选项B，当时，无极小值和极大值，故B错误；对于选项C，当时，，设，则切线为的方程为，它与两坐标轴的交点分别为和，它们围成的图形面积，故C正确；对于选项D，当时，.设，则切线为的方程为，它与直线的交点为，它与直线的交点为，它们围成的图形面积.，故D正确，故选ACD.11.ACD【解析】可变形为，表示以为圆心，2为半径的圆的右半部分，可变形为，表示以为圆心，2为半径的圆的右半部分.对于A选项，抛物线过点，解得，故A正确；对于B选项，当点三点共线时，，故B选项错误；对于C选项，因为是抛物线的焦点弦，所以当为通径时，；如图，直线的方程为，代入抛物线并整理得，所以，此时弦最长，且，故C正确；对于D选项，由对称性不妨设，当在点时，，所以，显然离最远的点在上，且.联立，整理得，则，则，所以，设，易得在上单调递增，所以的最大值为，故D正确，故选ACD.12.【解析】由及，得，解得.13.【解析】如图所示，设是线段之中点.由题意可知，所以.设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，又，所以，解得，所以.14.【解析】因为，所以，即，即.又，等号当且仅当时成立，所以的最大值是.15.【解析】（1）由，及正弦定理得，因为为三角形内角，故，故得，又为三角形内角，或.（2）由得，又，所以.由（1）得，故而为三角形内角，.由正弦定理，得，故的面积.16.【解析】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，则，又，，所以.（2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，则，，所以.17.【解析】（1）连接.为中点，.又为中点，，平面，平面.同理可证平面.又平面平面，故四点共面.（2）由（1）知是二面角的平面角，设.又由得，又，又平面平面.如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即取，得.设直线与平面所成角为，由题设知，即，平方化简整理得，因为，所以，所以，即，解得，所以.故所求二面角的余弦值为.18.【解析】（1）.据题意有：，联立解得.（2）由（1）知，.所以函数且，所以，因此函数在和单调递减，在和单调递增，其大致图象如右，故函数只有唯一的极大值，无极小值（3）当时，不等式恒成立等价于不等式恒成立，显然有.令，则恒成立.而.当时，，所以在上单调递增，所以，当时，，符合题意；当时，记，则抛物线的开口向上，对称轴为，又，所以，当时，，从而，所以在上单调递减，故当时，，不符合题意.所以.再令，则恒成立.而.当时，，所以在上单调递减，所以，当时，，符合题意.当时，记，则抛物线的开口向下，对称轴为，又，所以，当时，，从而，所以在上单调递增，故当时，不符合题意.综上可知实数的取值集合为.19.【解析】（1）依得，，又由得，，解得，故梢圆方程为.又梢圆在点处的切线方程为，则.又，因此.（2）（i）设，则，代入的楠圆方程得：.又直线的斜率，而.则由（1）可知，可知.因此，即，可得，又，因此.同理可知：，即.故.（ii）①若直线的斜率不为0时，则设直线，与椭圆联立可知，，可得，即.因此.从而..②若直线的斜率为0，则，故.