四川省!!#届高三第一次教学质量联合测评数学参考答案及评分参考意见一!选择题$%&!!解析因为!'#($$!$#$)$%&$所以!'#!$#$)!#*!!解析因为$!'+(%!(+%,是纯虚数$所以+(%!'$即%'-!#+/&$/!/+/&/0/1.#*!!解析由题意$'$解得&'####!2'+/'#.$0+#&!!解析设#'(&的公比为)$所以')')$)'!#又'$/'!/'.''!/$/!''!''$/'!!!!0$所以'!'!###3!!解析因为*''(''''!(!(/$'($$所以'''!(!('(!$*'('('('''!(!(/$'('(!(/$'.#2#4!!解析'$%为正实数$所以当'%#!时$'/%$!槡'%#!)当'/%#!时$取''.$%'#$$'%'#.%$#故*'%#$+是*'/%#!+的充分而不必要条件#!!!!$!!$!$!0#*!!解析记+''(%$由题意&,-&/&,.&''&/0!&/&/0$&(''!+('&0$0!&$槡+++!!!#即&/0!&/&/0$&'&0$0!&$所以/0!'/0$#因为四边形,-/.的面积为$所以!!!(/0$0!的面积为#$即&/0$&&/0!&'$$又&/0$&/&/0!&'!'$所以+'''&/0$&/&/0!&(!!!!'&/0$&/&/0!&/!&/0$&&/0!&'++/!$%'#$1的短轴长为!%'!槡##)#4!!解析解法一,由!'-.'(%/.+(%'$/!%得2'(2%'.%(.+#因为'#%$所以%#+#所以2'(%($.+'%$$即2'(%%.%(+$所以'(%%%(+$即!%#'/+#.%(+($2%解法二,由!'-.'(%/.+(%'$/!%$得2'/.+'.%/2%$即2'(2%'.%(.+$因为'#%$所以.%(.+'2'(2%#$%#+#作出函数2'2&和2'.&$取'#%#+$并比较当2'(2%'.%(.+时$'$%$+在&轴上的位置$知'(%)%(+$所以!%$'/+#二!选择题1#&3!!评分标准选对$个得.分$选对!个得2分$选错得分.!解析因为+3/.3/!3/3'$$所以3'#$$4错误#-'4%.('-'4'$(/-'4'!('03'#0$&正确#5'4('$-+3/!-.3/.-!3/+-3'!3'!$*错误#6'4('+3'$(!(!/.3'!(!(!/!3'.(!(!/3'+(!(!'$3'$$3正确#$#&*3!!评分标准选对$个得!分$选对!个得+分$选对.个得2分$选错得分.!解析设1!6'7$在翻折后有187'!6$7'!6$所以二面角18!6的平面角为*718#当!'15时$187'平面!6$若4正确$由!'186$即有!'平面18!6$此时!'!6$与*6!'25矛盾$4错误#当!'15时$18'槡!7'槡2$取18的中点/$由!'!18$${#{QQABbQShxgAwgBbACC5KQQ1GCwkQsJIhLQoEARCauAQDQBFAFIA=}#}书6'618$知!/'18$6/'18$所以*!/6为二面角!186的平面角$!/'/6'槡$!!!$$从而!///6#!6$故*!/6为锐角$&正确#当678'时$18'!!.!!槡7/187(!7-187-678!'!$故四面体!186各条棱长均为!$*正确#当678!'$槡2!时$四面体!186为棱长为!的正四面体$其外接球半径为9'$其表面积为+!9'2!$.!3正确#$$#4*!!评分标准选对$个得.分$选对!个得2分$选错得分.!解析令&'$$2'$得!*'$('!*'$(*'($因为*'$(+$所以*'('$$4正确#取*'&('678&$则*'$('678$+$&错误#令&'$得*'2(/*'(2('!*'(*'2('!*'2($所以*'(2('(*'2($*正确#令2'!!$得*'&/!!(/*'&(!!('!*'&(*'!!()又令&'2'!$得$*'!!(/*'('!*!'!($从而*'!!('($故*'&/!!(/*'&(!!('(*'&(#若*'&/!!('!*'&($则*'&(是周期为!!的函数$所以*'&(!!('*'&($即*'&(/*'&('(*'&($*'&('恒成立$与*'$(+矛盾$3错误#三!填空题$&!($$!#'$$(或'$$/!!解析*'&(的定义域是'$/9($令*8'&('&('%$解得%&%&&$$所以*'&(的单调递减区间是'$$(或'$$/#槡.$槡.'!槡.槡.$.#(!!解析由题意$*'/'槡'/$$''$所以*'&('8,:!&/678!&$.!.!!..槡.*'.'('*'$('(#槡.$+#+槡.)!!!评分标准第$空!分$第!空.分.-,!解析当&!$2!$时$:',;('&!/2!'!$;的轨迹是以'!$($'$!(为端点的线段)当&!$2!%时$由对称性知$;的轨迹是以'(!$($'$(!(为端点的线段)当&!#$2!%时)由对称性知$;的轨迹是以'!$('$(!(为端点的线段)当&!%$2!#时$;的轨迹是以'(!$('$!(为端点的线段#因此;的轨迹是以'!$($'$!($'(!$($'$(!(为顶点的四边形$其围:',-/,($成面积为+.#'$要求最大值$令&$$)$不妨设&$)$$$$于是槡-,!!22&,/&槡&$/2$/&$2$:',-/,($$(&$/$'$$即$'&$/$$所以'')22-,!!!&,/&槡&$/'&$/$(/&$'&$/$($$.&$//槡!!+$$'!$当且仅当&$'(2$'(时取*'+#$!槡+四!解答题-,$-,-,!$!!.+$##解#!$因为6'!!/1$则有6'!+/%/%+$%+$解得%+)$!++.!{#{QQABbQShxgAwgBbACC5KQQ1GCwkQsJIhLQoEARCauAQDQBFAFIA=}#}$槡.槡.所以<(!1'%+8,:'%+)#!当且仅当%'+时取等!+.槡.所以(!1面积的最大值为#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#分.161!!解法一#由条件得'$所以6平分*!1#!!!!!!!!!!!!!!!0分!!6!!!因为*!6'$所以*16'$*!1'#!!!!!!!!!!!!!!!!!)分22.$!$!$!由面积关系得;$;+8,:/;$;!+8,:'%+%!+8,:$!!!!!!!!!$!分!2!2!..解得+'槡#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$.分!'!+'!$/(+!$/(++!11解法二#记*6!'$*61'$则有678/678'$解得/'$##'!'!;$;!;$;..!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0分解得1/!'!($)+!'#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1分!!'!槡.'!在(!6中$'$/+(!;+;$;$解得'$/+(.+$!!!!!!!!!!!$$分1!1槡/1/!'!($)+!'槡.联立方程组则有.'!$解得+'#!!!!!!!!!!!!!!!!!$.分'$/+!(槡.+!01!/2'!3&$!$2#解#!$当='时$联立.$$得2(!32/3'#!!!!!!!!!!!!!!!分!&'2(0!因为>与1有且仅有一个交点$所以'+3!(+3'$解得3'$#!!!!!!!!!!#分所以1的方程为2!'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2分/2!'!&!!联立.$得2!(!2/!='#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0分0&'2(=$因为>与1交于不同的两点$所以'+()=#$即=%#!!!!!!!!!!!!!)分!/2$/2!'!设!&$$2!$!!&!$2!$则.$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1分02$2!'!=&$/&!2$/2!$因为/$$所以/!$(=$$$;$$#!!!!!!!!!!!!!!!$分!!!!!!!!!&!&'!槡$/$&2$(2!&'!槡!槡+()=')!$(!=#!!!!!!!!!!!!!$.分$$&!&!)!$(!=&/;&'$(=('!$(!=#所以''$2#!!!!!!!!!!!$#分!!&/;&$!$(!=!.{#{QQABbQShxgAwgBbACC5KQQ1GCwkQsJIhLQoEARCauAQDQBFAFIA=}#}$0#!$证明#在直三棱柱!1$!$1$中$11$1$$!!!!!!!!!!!!!!!$分又$1$2平面$!1$$13平面$!1$$所以11平面$!1$#!!!!!!!!!.分因为12平面!1$>'平面!1平面$!1$$所以11>#!!!!!!!!!!#分槡.!所以<(-1'<(!1'!'.#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2分+槡!!解法一#如图$以$!$的中点,为原点建立空间直角坐标系#设&,1$&''!'#$则$!$$$$1$!'$$$!!$($$!#-,-,所以$!'!$(!$!$$1$'!'$($$#!!!!!!)分设平面$!1$的一个法向量为!$'!&$2$$$-,/&'$$/!$%$!'$/(!2/!$'$则$即$取$.-,..2''0!$%$1$'0'&(2'0$''所以!$'!$$'$'#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$$分因为!!'!$$$是平面$!的法向量$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$!分&($%(!&$槡.所以&678&!$$!!'&'''#%!&($&&(!&槡!'/$.!解得''$$所以&1&'&$1$&'槡'/$'槡!#$#分解法二#如图$取$!$的中点,$因为$1$'!$1$$所以,1$'$!$#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!0分因为在直三棱柱!1$!$1$中$$'平面$!$1$$所以$',1$#!!!!!!!!!!!!!!!!!)分因为$!$$'$$所以,1$'平面!!$$#!!!1分过点,作$!的垂线$垂足为7$所以*1$7,为二面角1$$!!$的平面角#!!!!!!!!!!!!!!!!!$$分槡!设,1$''!'#$易得,7'$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$!分!槡!!槡.所以&678*1$7,&''#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$.分!.槡!/'!槡!!!解得''$$所以1'$1$'槡'/$'槡!#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!$#分$)#解#!$零假设为7#司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关#!!!!!!!!$分!;!$;1#(#;1!!根据表中数据$计算得!''%!%!#02#!!!!!!!!.分$$;$;$#;$)#$$$根据小概率值'#$的独立性检验$没有充分证据推断7不成立$因此可以认为7成立$即认为司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关#!!!!!!!!!!!!!!!#分+{#{QQABbQShxgAwgBbACC5KQQ1GCwkQsJIhLQoEARCauAQDQBFAFIA=}#}!!!#根据条件概率的定义$-!$!!-!$!-!!&$!-!$&!-!!'%%-!!'-!$!!#!!!!!!0分-!$!-!!!$由题意$-!!'#$-!!'$(#$-!?&!'3$-!?&!')#!!!!!!!!!!)分由!#中的结论及已知得!-!$!!'-!!&$!-!$&!-!!'-!!&!-!$&!-!!'#3$!-!$!!'-!!&!-!$&!-!!'!$(#)$!!!!!!!!!!!!!!!!$分!!由概率的性质知-!$!'-!$!!/-!$!!'#3/!$(#)#由全概率公式$-!$'-!$&!-!!/-!$&!-!!'#3/!$(#)#!!!!!!$!分!!-!$!#3/!$(#)根据条件概率的定义$-!!&$''#!!!!!!!!!!$.分-!$#3/!$(#)!!!因为-!$#$所以要证-!!&$#-!$$即证#3/!$(#)#(#3/!$(#)
四川省大数据智学领航联盟2025届高三第一次教学质量联合测评数学答案
2025-02-21
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