江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期开学考试数学+答案

2024-2025学年第二学期高三年级期初学情调研测试数学参考答案1.B2.D3.B4.D5.A6.D7.B8.A9.AD10.ABD11.BCD12.6413.14.15.（1）根据题意，可得如下的的列联表：年长者年轻人总计喜欢阅读电子书62430喜欢阅读纸质书121830总计184260..............................................................2分则................4分所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关．.................6分（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3由超几何分布的分布列可得，，，........................10分所以X的分布列为：X0123P............................................11分则期望为. .............13分16.（1）取的中点，连接，，因为，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，................3分又，平面，平面，所以平面，......5分所以四棱锥的体积为；....7分（2）过作交于，则，结合（1）中平面，故可建以为原点，、、所在直线为、、轴的空间直角坐标系，如图所示，所以，，，，故，，.......................9分设平面的法向量为，则，故，取，则，，故平面的一个法向量为，......................11分因为平面，所以平面的一个法向量为，.......12分所以，.......................13分设二面角的大小为，由图可知为锐角，所以,所以所以二面角的平面角的正弦值为．.....................15分17.（1）由题意，当时，，得，,....1分当时，，①，②①②得，....................................3分因为，所以．则，.....5分∵，∴，所以是以为首项，3为公比的等比数列................6分所以，则................8分（2）由，则，.............11分所以的前项和：..............15分18.（1）由，，得.令，解得..............2分当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增..............4分当时，恒成立，在上单调递增..............5分当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增..............7分综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为........8分（2）因为对任意，均存在，使得，所以..............9分当时，取得最大值，最大值为0..............10分由（1）得，Ⅰ）当时，在上单调递增，上单调递减即当时，取得最大值，解得，即..............12分Ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，又因为，所以无解；....14分Ⅲ）当时，在单调递增区间，，所以无解；.............15分Ⅳ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又因为，所以无解..........16分综上所述，的取值范围为..............17分19.（1）由，得，所以椭圆E的方程为..........3分（2）显然直线l的的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，则点的坐标为，联立方程，消去整理得则，且，.................5分又因为直线的方程为，令，得的横坐标为.................8分所以为定值..................9分（3）依题意，，设，直线斜率为.若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.所以直线的斜率必不为0，设其方程为，联立方程，消去x得，则，可得，...............10分因为是椭圆上一点，满足，所以，则，即.因为所以，此时，故直线恒过轴上一定点................13分因此所以...............15分令，则，当，即时，取得最大值................17分