河南省周口市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题 Word版含解析

普通高中2024—2025学年（上）高二年级期末考试数学（人教版）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，则的公差（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的等和性求出，即可求出公差.【详解】由等差数列的性质可知，，所以，又，所以.故选：C.2.已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设直线的方程为，代入点的坐标可求直线方程.【详解】由题意设直线的方程为，将点代入，得，所以直线的方程为.故选：D.3.已知曲线表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆可得答案.【详解】若曲线表示圆，则由圆的一般方程可知，，解得或.故选：B.4.若直线与平行，则与之间的距离为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行确定的值，再由两平行直线的距离公式计算即得.【详解】直线即，因，可得，则直线与之间的距离为.故选：A.5.已知在正四面体中，为棱的中点，为的重心，设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算可求得.【详解】因为为的重心，所以，因为为棱的中点，所以，则.故选：C.6.已知函数，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.【详解】由导数的定义可知，，又，所以，所以.故选：B.7.在正四棱柱中，为棱上动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围.【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，故，，设与所成的角为，则，所以，令，所以，故.故选：B.8.已知长为6的线段的两端点分别在轴和轴上，点满足，则关于点的轨迹，下列说法正确的是（）A.点的轨迹是焦点在轴上的椭圆B.点的轨迹是短轴长为1的椭圆C.点的轨迹是离心率为的椭圆D.点的轨迹是长轴长为10的椭圆【答案】D【解析】【分析】先设，点，则，由得，，代入，化简得到轨迹方程，结合长短轴概念，离心率公式计算判定即可.【详解】设，则，设点，则，由得，，所以，则，代入，得，即，则，所以，，所以点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，短轴长为，离心率为，长轴长为，故A，B，C错误，D正确.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为为常数，所以0，A错误；因为，B正确；因为，C正确；因为，D正确.故选：BCD10.记为数列的前项和，已知，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.为递减数列C.D.当时，取得最大值为15【答案】AC【解析】【分析】利用给定的递推公式，结合变形，再逐项计算判断即可.【详解】对于A，由，得，即，则，又，于是，A正确；对于B，由得，当时，，则不为递减数列，B错误；对于C，由得，当时，，，又，累加得，，则，则，当时，代入上式均成立，则，C正确；对于D，，D错误.故选：AC11.如图，“倒形”曲线由两部分组成，轴左侧部分曲线为轴及其右侧部分曲线为，且，若Px,y为“倒形”曲线上一动点，则下列说法正确的是（）A.曲线与轴所围成区域的面积为B.曲线的方程为C.的最大值为2D.若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】化简曲线的方程，确定轨迹形状，结合面积公式判断A，化简曲线的方程可得，，结合条件求，由此判断B，结合曲线方程的最大值不小于，判断C，结合图象确定满足条件的直线的临界位置，由此确定其范围，判断D.【详解】曲线0可化为，表示以为圆心，半径为1的两个半圆，易得与轴所围成的区域的面积为，A错误；因为，曲线，化为，，表示右焦点为的椭圆在轴上及轴右侧的部分，由图可知，，又，解得，所以曲线的方程为，B正确；点在曲线上，该点到原点的距离为，所以曲线上的动点到原点的距离的最大值不小于，C错误；由图可知，若直线与曲线有四个交点，则直线位于和之间（与不重合），其中过原点，是第二象限的半圆的切线，当直线与第二象限的半圆相切时，，解得舍去），所以实数的取值范围为，D正确.故选：BD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在处的切线的倾斜角为__________.【答案】（或）【解析】【分析】根据导数的几何意义求导即可求得斜率，可得倾斜角.【详解】由题意得，当时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为.故答案为：13.等比数列中，，则__________.【答案】4【解析】【分析】根据等比数列的性质若，则，，结合条件求，由此可得结论.【详解】因为数列为等比数列，所以若，则，，所以，，所以，所以.故答案为：.14.已知点为双曲线上一点，分别为的左，右焦点，，且的面积为2，若双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为__________.【答案】【解析】【分析】利用双曲线的定义得，再用勾股定理得到，结合离心率，即可求出即得.【详解】不妨设点为双曲线右支上一点，则，由的面积为2得，.，所以，因为，则，即，所以，又，所以，则，解得，故双曲线的实轴长为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设为正项等比数列的前项和，已知，.（1）求数列的公比；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解出的值；（2）求出的值，代入等比数列的通项公式可求得数列的通项公式；（3）利用等比数列的求和公式可求得的表达式.【小问1详解】因为数列是正项等比数列，则，由题意得，，整理得，即，解得或（舍去）.【小问2详解】因为，所以，故.小问3详解】.16.已知圆经过点，且与圆相切于点.（1）求圆心的坐标；（2）求圆标准方程；（3）过点的直线与圆和圆分别交于轴上方的两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）由配方得到标准方程即可；（2）由两圆位置关系及圆心在轴上，列出等式求解即可；（3）过分别作，，得到，再结合圆的性质得到，进而得到，再通过中，，即可求解；【小问1详解】由圆配方得，，所以圆心.【小问2详解】因为圆经过点，且与圆相切于点，所以圆与圆内切，且圆心在轴上，设圆心，圆的半径为，则，解得故圆的标准方程为.【小问3详解】如图，过分别作，，垂足分别为，因为，所以，由圆的性质可知，，，所以，所以，又，所以，在圆中，得，在中，，则直线的斜率为，所以直线的方程为，即.17.如图，为等腰直角三角形，分别为的中点，将沿折起，使点至点的位置，且.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，从而可证明平面，进而可得结论；（2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.求出两平面的法向量，利用空间向量夹角余弦求解即可.【小问1详解】因为分别为的中点，所以，又，所以.又平面，所以平面.因为为等腰直角三角形，，所以，则，连接，则，又，所以，则.又平面，所以平面，又平面，则.【小问2详解】以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，由得取，则.设平面的法向量为，由得取，则，于是，故锐二面角的余弦值为.18.已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为.（1）求抛物线的焦点坐标；（2）若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标；（2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论.【小问1详解】当时，，不妨取，则，，由的周长为得，，解得，故抛物线的焦点坐标为34,0.【小问2详解】由（1）可知，抛物线，设直线的方程为，则直线与直线交于点，所以的方程为，联立，解得，则，所以，易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为，代入得，整理得，则，整理得，则，所以，故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为，故过点与抛物线的相切的直线平行于直线.19.对于数列，若存在，使得对于任意，都有，则称数列为型数列.（1）已知数列的通项公式为，判断数列是否为型数列，并说明理由；（2）已知数列的首项为，且数列是型数列，若，求数列的前项和；（3）已知数列是公差为4的等差数列，证明：对于任意的，数列都是型数列.【答案】（1）数列不是型数列，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由“型数列”的定义进行判断即可；（2）根据等差数列的定义求出数列可得，再由裂项相消求和可得答案；（3）由“型数列”的定义进行判断即可.【小问1详解】数列不是型数列.理由如下：因为，当时，，所以，故数列不是型数列；【小问2详解】由定义可知，，则，所以数列为3为首项，2为公差的等差数列，所以.所以，故；【小问3详解】，故对于任意的，数列都是，型数列.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用新定义解题，