湖北省武汉市洪山高级中学2024-2025学年高一下学期2月考试数学试题 Word版含解析

武汉市洪山高级中学2027届高一第二学期2月考试数学试卷一.单选题1.若是第四象限角，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据的符号确定正确答案.【详解】由于是第四象限角，所以，所以在第二象限.故选：B2.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C向右平移个单位D.向左平移个单位【答案】B【解析】【分析】根据，然后判断出平移的过程即可.【详解】因，所以将的图象向左平移个单位可得到的图象，而把的图象向左平移后的图象对应的函数为，不合题意；第1页/共21页把的图象向右平移后的图象对应的函数为，不合题意；故选：B.3.已知且，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可.【详解】由，得，即，所以，所以.故选:C.4.设，则有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三角函数恒等变换化简可得，，.根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小.【详解】，，，，，第2页/共21页即有：.故选：D5.设，，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先根据同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦公式得到，再根据诱导公式即可求解.【详解】，，，，.，，，或，即或（舍去）.故选：A.6.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（）第3页/共21页A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.第4页/共21页7.已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分，，三种情况进行讨论，结合函数的图象，即可求出的取值范围.【详解】设，则有且只有一个实数根.当时，当时，，由，即，解得，结合图象可知，此时当时，得，则是唯一解，满足题意；当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；当时，当时，，此时最小值为，第5页/共21页结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时.综上所述，的取值范围是.故选：B.8.已知函数且（）A.函数都是偶函数B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据偶函数的定义判断A，解对数方程即可判断B，解对数方程得，当时，即可判断C，设，求出，即可判断D.【详解】因为，且，，，所以，，，对A,的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误；对B,当，即，所以或，解得，且，故B错误；第6页/共21页对C,当时，，即，即，同理可得，所以，当时，，故C错误；对D,因为，设，则，，，，所以，，，，所以，，所以，故D正确.故选：D二.多选题9.计算下列各式的值，其结果为2的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用三角恒等变形公式逐一化简计算即可.【详解】对于A：，A正确；对于B：，B错误；对于C：第7页/共21页，C正确；对于D：，D错误.故选：AC.10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称C.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据图像求得，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，进而求解.【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，第8页/共21页所以，，又，所以，所以．对于A：当时，，故A正确；对于B：当时，为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数：的图像，故C错误；对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确．故选：ABD11.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A.的周期为B.C.的所有零点之和为D.【答案】BCD第9页/共21页【解析】【分析】根据题意由的奇偶性和对称性分析的周期判断A；结合已知结合对称性得，，，，进而利用周期性求和判断B；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，根据中心对称即可判断C；结合与的函数值的符号，根据奇函数性质和周期性判断D.【详解】由为偶函数，得，即，函数图象关于直线对称，由为奇函数，得，即，则，的图象关于点对称，因此函数是周期为的周期函数，A错误；由当时，，得，而，，，因此，B正确；的零点可看作与的图象交点的横坐标，作出与的图象，观察图形知，直线与的图象共有个交点，且它们关于点成中心对称，所以所有零点之和为，C正确；当时，，，与均奇函数，第10页/共21页则当时，因此当时，，又与的周期都为，所以，D正确．故选：BCD【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.三.填空题12.已知，则______【答案】【解析】【分析】利用两角和差的正弦公式联立方程组求得，然后化切为弦代入运算即可.【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：，，联立方程组，可得，所以．故答案为：13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为______【答案】第11页/共21页【解析】【分析】结合二次函数的单调性，根据在上单调递减列不等式组求解即可．【详解】因为在上单调递减，且时，是单调递减，则需满足，解得，即实数的范围是．故答案为：14.已知a为正数，函数在区间和上的最大值分别记为和，若，则___________，a的取值范围为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】首先根据得出大致范围，从而求出的值，再根据的范围即可求出的取值范围.【详解】由于函数在区间和上的最大值分别记为和，，则，否则，与条件矛盾.所以=1.于是得所以，结合，所以,所以.故答案为：1；.四.解答题15.已知角的终边经过点，求：（1）的值第12页/共21页（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得，从而求得正确答案.（2）利用诱导公式求得正确答案.【小问1详解】依题意，角的终边经过点，所以，所以.【小问2详解】.16.已知函数，．第13页/共21页（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若为锐角且，满足，求．【答案】（Ⅰ），，．（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）把使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间.（Ⅱ）化简，求出，进一步求出的正弦及余弦，令，利用两角差的正弦公式代入计算即可.【详解】解：（Ⅰ）．所以的最小正周期，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，第14页/共21页因为为锐角，所以，，又因为，所以，所以．【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．17.自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）【答案】（1）；；（2）2022.【解析】【分析】（1）由题可得函数更合适，结合条件即得；（2）由题可得，利用对数的运算可得，即得.【小问1详解】因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选；第15页/共21页则有，解得，∴；【小问2详解】设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，则，即，∴，∴，故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．18.已知函数在上为奇函数，，.（1）求实数的值；（2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）；（3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值.【答案】（1）；（2）减函数；（3）.【解析】【分析】（1）因为为奇函数，所以恒成立，据此可求出的值；（2）由（1）可求出，讨论，根据复合函数的单调性可判断的单调性；（3）根据题意，结合（1）对原不等式变形可得，又根据的单调性得，整理得，从而转化为求的最小值，再解关于的不等式，第16页/共21页对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案.【小问1详解】因为函数在上为奇函数，所以恒成立，即恒成立，所以，又，所以；【小问2详解】由（1）知因为在是减函数，又，所以在上为减函数；【小问3详解】因为对任意都有,所以对任意都有，由在上为减函数；所以对任意都有，所以对任意都有，因为，所以即，解得因为，令，则，令，它的对称轴为，当，即时，第17页/共21页在上是增函数，，解得舍去，当即时，此时，解得，所以.【点睛】小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高.19.已知函数的定义域为.（1）求a的取值范围;（2）讨论函数的单调性;（3）给定函数，，若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“不动点”;若其图象与直线存在公共点，则称是的一个“次不动点”.若函数在上仅有一个“不动点”和一个“次不动点”，求a的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）或【解析】【分析】（1）先将问题转化为在上恒成立，分离参数后得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值即可；第18页/共21页（2）根据复合函数的单调性，设，，分类讨论求解即可；（3）设函数在上的“不动点”为m，则，令，，则，将函数在上仅有一个“不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点；设函数在上的“次不动点”为n，则，令，，则，将函数在上仅有一个“次不动点”转化为与的图象在上仅有一个交点，结合单调性求解即可.【小问1详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立，即在上恒成立，又因为，当且仅当时，等号成立.所以a的取值范围为【小问2详解】令，则为上的增函数，且设当时，函数在上单调递增，又为增函数，由复合函数单调性，在上单增;当时，在上单减，在上单增，又为增函数，由复合函数单调性，在单减，在单调递增.综上，当，函数在上单调递增;第19页/共21页当时，函数在单调递减，在单调递增.【小问3详解】设函数在上的“不动点”为m，则，即，整理得，，令，，则，则在上单