河南省（驻马店、漯河、南阳、信阳、三门峡）五市2025年高三第一次联考数学答案

年河南省五市高三第一次联考２０２５数学参考答案一选择题；本题共小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只．８５４０有一项是符合题目要求的。题号１２３４５６７８答案ＡＤＢＤＤＣＢＣ二、选择题：本题共小题每小题分共分．在每小题给出的选项中有多项符合３，６，１８，题目要求．全部选对的得分部分选对得部分分有选错的得分．６，，０题号９１０１１答案ＢＤＡＢＡＢＣ三、填空题：本题共小题每小题分共分３，５，１５．π１１４７[ｅ)１２．６０ １３． １４．ｅ，＋∞２四、解答题：本题共小题共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤５，７７．．解ｂＡａＢ１５．：（１）∵ｓｉｎ－３ｃｏｓ＝０，由正弦定理可得ＢＡＡＢ．分ｓｉｎｓｉｎ－３ｓｉｎｃｏｓ＝０……………………………………１ＡＡＢＢ．∵∈（０，π），ｓｉｎ≠０，∴ｓｉｎ－３ｃｏｓ＝０Ｂπ分∴２ｓｉｎ（－）＝０………………………………………………………………４３ＢＢπ分∵∈（０，π），∴＝；…………………………………………………………６３方法一在ＡＢＣ中由余弦定理得ｂ２ａ２ｃ２ａｃＢ分（２）（）△，＝＋－２··ｃｏｓ，………７即ａ２ｃ２ａｃａｃａｃａｃ当且仅当ａｃ时取等号．分４＝＋－≥２－＝，＝＝２…………………１０ＳＡＢＣ１ａｃＡＢＣ１３．∴△＝··ｓｉｎ∠≤×４×＝３２２２即ＡＢＣ的面积的最大值为．分△３……………………………………………１３ａｃ方法二由正弦定理得２．分（）Ａ＝Ｃ＝………………………………………７ｓｉｎｓｉｎ３２高三数学答案第页共页 １（８）ａ４３Ａｃ４３Ｃ∴＝ｓｉｎ，＝ｓｉｎ３３ＡＣ则ＡＢＣ面积Ｓ１ａｃＢ１３４３ｓｉｎ４３ｓｉｎ．分△＝ｓｉｎ＝×××……………………１０２２２３３êéæöúù２３êçＡπ÷１ú．＝ëｓｉｎè２－ø＋û≤３３６２当且仅当ＡＣπ时取等号．＝＝３即ＡＢＣ的面积的最大值为．分△３……………………………………………１３．解ｘ１１６：（１）＝（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７）＝４，７ｙ１分＝（７＋９＋１０＋１２＋１６＋１９＋１１）＝１２，…………………………………………２７７ｘｉｙｉｘｙｉ－∑＝１７·３７４－７×４×１２１９分＝７＝２＝２２…………………………………………４ｘｉｘｉ１４０－７×４１４∑＝１－７ｙｘ１９４６．分＝－＝１２－×４＝………………………………………………………５１４７线性回归方程为１９ｘ４６．分＝＋…………………………………………………６１４７当ｘ时１９４６１２２．＝８，＝×８＋＝１４７７即预测春节假期第天的营业额为１２２千元．分８…………………………………７７由题意可知Ｘ的所有可能取值为．分（２）：１，２，３，４……………………………８Ｃ１Ｃ３Ｃ２Ｃ２ＰＸ４×３４ＰＸ４×３１８（＝１）＝Ｃ４＝，（＝２）＝Ｃ４＝，７３５７３５Ｃ３Ｃ１Ｃ４ＰＸ４×３１２ＰＸ４１．分（＝３）＝Ｃ４＝，（＝４）＝Ｃ４＝……………………………………１２７３５７３５Ｘ的分布列为Ｘ１２３４Ｐ４１８１２１３５３５３５３５分………………………………………………………………………………………１４高三数学答案第页共页 ２（８）Ｘ的数学期望为ＥＸ４１８１２１１６．分＝１×＋２×＋３×＋４×＝………………………１５３５３５３５３５７．解方法一以Ａ为原点Ａ→ＢＡ→ＤＡ→Ｐ分别为ｘｙｚ轴正方向建立空间直１７：（）（１），，，、、角坐标系则ＡＢＣＤＰ分，（０，０，０），（２，０，０），（２，２，０），（０，１，０），（０，０，２）…………２由Ｅ为线段ＰＣ的中点可得ＥＤ→Ｅ．，（１，１，１），∴＝（１，０，１）由题意可得Ａ→Ｄ为平面ＰＡＢ的一个法向量分＝（０，１，０）………………………３Ａ→ＤＤ→Ｅ且ＤＥ平面ＰＡＢＤＥ平面ＰＡＢ分∵·＝０×１＋１×０＋０×１＝０，⊄，∴∥；……５Ｄ→ＣＰ→Ｃ．（２）＝（２，１，０），＝（２，２，－２）ｎＤ→Ｃｘｙ设ｎｘｙｚ为平面ＰＣＤ的一个法向量则＝２＋＝０，＝（，，），{ｎＰ→Ｃｘｙｚ，·＝２＋２－２＝０不妨设ｘ则ｎ分＝１，＝（１，－２，－１）…………………………………………………８ｎＡ→Ｄ设点Ａ到平面ＰＣＤ的距离为ｄ则ｄ·｜０－２＋０｜６分，＝ｎ＝＝…………１０｜｜１＋４＋１３设平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ夹角为θ由题意可知θ为锐角（３），，，ｎＡ→Ｄθ·－２６分ｃｏｓ＝ｎＡ→Ｄ＝＝……………………………………………１４｜｜×｜｜６×１３æö２θ２θç６÷３ｓｉｎ＝１－ｃｏｓ＝１－èø＝３３即平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ夹角的正弦值为３分………………………………１５３方法二取ＰＣＰＢ的中点分别为ＥＦ连接ＤＥＥＦＦＡ分（）（１）、、，、、……………１高三数学答案第页共页 ３（８）ＥＦ为ＰＢＣ的中位线ＥＦＢＣＥＦ１ＢＣ．∵△，∴∥，＝２ＡＢＡＤＡＢＢＣＢＣＡＤＡＤＢＣＡＤ１ＢＣ∵⊥，⊥，＝２，＝１，∴∥，＝２ＥＦＡＤＥＦＡＤ∴∥，＝，四边形ＥＦＡＤ为平行四边形ＤＥＡＦ分∴，∴∥…………………………………４又ＤＥ面ＰＡＢＡＦ面ＰＡＢ⊄，⊂，ＤＥ平面ＰＡＢ分∴∥………………………………………………………………５ＡＢＡＤＡＢＢＣＰＡ底面ＡＢＣＤＡＢＢＣＰＡＡＤ．（２）∵⊥，⊥，⊥，＝＝＝２，＝１ＣＤＰＤ２２ＰＣ２２２分∴＝＝２＋１＝５，＝２＋２＋２＝２３……………………………７设点Ａ到平面ＰＣＤ的距离为ｄ则由ＶＰＡＣＤＶＡＰＣＤ可得，－＝－：１１ｄ１１解得ｄ２６分××２３×２×＝××２×１×２，：＝＝………………………１０３２３２６３延长ＢＡＣＤ交于点Ｇ连接ＰＧ分（３），，…………………………………………１１底面ＡＢＣＤ为直角梯形ＢＣＡＤＡＤ为ＧＢＣ的中位线．∵，＝２，＝１，∴△ＡＧＡＢ．又ＰＡ底面ＡＢＣＤＰＡＧＰＢ为等腰直角三角形其中ＧＰ∴＝＝２⊥，＝２，∴△，ＰＢ．⊥同理可证ＧＰＰＣ．：⊥ＢＰＣ为平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成二面角的平面角分∴∠…………………１３ＢＣ在ＢＰＣ中ＢＣＰＢＰＣＢＰＣ２３．Ｒｔ△，＝２，＝２２，＝２３，∴ｓｉｎ∠＝ＰＣ＝＝２３３高三数学答案第页共页 ４（８）即平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ夹角的正弦值为３．分………………………………１５３．解设Ｐｘｙ动点Ｐ满足直线ＰＡ和直线ＰＢ的斜率乘积为３１８：（１）（，），－，４ｙｙｋｋ３即３分∴ＰＡ·ＰＢ＝－，ｘ·ｘ＝－……………………………………………２４－２＋２４ｘ２ｙ２即ｘ．＋＝１，（≠±２）４３ｘ２ｙ２曲线Ｃ的方程为ｘ或ｙ．分∴＋＝１，（≠±２）（≠０）……………………………５４３没有写ｘ或ｙ的扣分（≠±２≠０１）设点ＭｘｙＮｘｙ（２）（ｉ）（１，１）、（２，２），若ＭＮｙ轴则Ｎｘｙ且ｘＭ→ＡｘｙＮ→Ａｘｙ⊥，（－１，１）１≠０，＝（２－１－１），＝（２＋１－１），ｘ２ｘ２此时Ｍ→ＡＮ→Ａｘ２ｙ２ｘ２３１７４不合题意分，·＝４－１＋１＝４－１－＋３＝７－＞０，；………………６４４设直线ＭＮ的方程为ｘｍｙｎ＝＋，ｘｍｙｎ联立{＝＋可得ｍ２ｙ２ｍｎｙｎ２ｘ２ｙ２（３＋４）＋６＋３－１２＝０，３＋４＝１２Δｍ２ｎ２ｍ２ｎ２ｍ２ｎ２＝３６－１２（３＋４）（－４）＝４８（３＋４－）＞０，ｍｎｎ２由韦达定理可得ｙｙ６ｙｙ３－１２分１＋２＝－ｍ２，１２＝ｍ２，……………………………８３＋４３＋４Ａ→ＭｘｙｍｙｎｙＡ→Ｎｘｙｍｙｎｙ＝（１－２，１）＝（１＋－２，１），＝（２－２，２）＝（２＋－２，２），Ａ→ＭＡ→Ｎｍｙｎｍｙｎｙｙ∴·＝（１＋－２）（２＋－２）＋１２ｍ２ｙｙｍｎｙｙｎ２＝（＋１）１２＋（－２）（１＋２）＋（－２）ｎ２ｍ２ｍ２ｎｎｎ２ｍ２３（－４）（＋１）－６（－２）＋（－２）（３＋４）＝ｍ２＝０，３＋４因为直线ＭＮ不过点Ａ则ｎ整理可得ｎ解得ｎ２．，≠２，７－２＝０，＝７高三数学答案第页共页 ５（８）æö直线ＭＮ的方程为ｘｍｙ２直线ＭＮ过定点Ｄç２÷．分∴＝＋，∴è，０ø……………１１７７直线的方程为ｘｍｙ２．（ｉｉ）－－＝０７１２点Ａ到直线ＭＮ的方程为ｄ７１２分＝＝∴ｍ２ｍ２，………………………１２＋１７＋１æｍｎö２ｎ２ＭＮｍ２ｙｙ２ｙｙｍ２ç６÷４（３－１２）｜｜＝１＋·（１＋２）－４１２＝１＋·è－ｍ２ø－ｍ２３＋４３＋４ｍ２ｍ２４ｍ２ｍ２ｎ２４３１＋）（３＋４－）４３（１＋）（３＋４－）４９＝ｍ２＝ｍ２３＋４３＋４ｍ２ｍ２４３１＋·４９（３＋４）－４＝·ｍ２，７３＋４ｍ２ｍ２ＳΔＡＭＮ１ＭＮｄ１４３（１＋）［４９（３＋４）－４］１２＝＝２∴｜｜···ｍ·ｍ２２２７３＋４７＋１ｍ２２４３４９（３＋４）－４分＝·ｍ２，…………………………………………………１５４９３＋４ｔ２令ｔｍ则ＳΔＡＭＮ２４３４９－４２４３４９４２４３＝３＋４≥４，＝·ｔ＝ｔ－ｔ２＝４９４９４９æö２２ç１４９÷４９－４èｔ－ø＋，８１６因为１１时故当ｔ时Ｓ取最大值２４３１４４．分０＜ｔ≤，＝４，ΔＡＭＮ×２３＝…………１７４４９４９本题中若ＳΔＡＭＮＳΔＡＭＤＳΔＡＮＤ１ＡＤｙｙ＝＋＝｜｜·｜１－２｜２６ｙｙ同样给分．＝·｜１－２｜７．解函数ｆｘｘａｘ的定义域为ｆ′ｘｘａ．分１９：（）＝ｅ－Ｒ，（）＝ｅ－………………………１当ａ时ｆ′ｘｘａ恒成立ｆｘ在上单调递增（１）≤０，（）＝ｅ－＞０，∴（）Ｒ；当ａ时由ｆ′ｘ解得ｘａ由ｆ′ｘ解得ｘａ．＞０，（）＞０，：＞ｌｎ；（）＜０，：＜ｌｎｆｘ在ａ上单调递减ａ上单调递增．分∴（）（－∞，ｌｎ），（ｌｎ，＋∞）…………………４综上所述当ａ时ｆｘ在上单调递增：≤０，（）Ｒ；高三数学答案第页共页 ６（８）当ａ时ｆｘ在ａ上单调递减ａ上单调递增．分＞０，（）（－∞，ｌｎ），（ｌｎ，＋∞）…………５要使ｆｘ恒成立只需ｆｘ恒成立．（２）（）≥１，（）ｍｉｎ≥１由可知当ａ时ｆｘ在上单调递增且ｆ当ｘ时ｆｘ（１），≤０，（）Ｒ，（０）＝１，∴＜０，（）＜１，不合题意舍去．，当ａ时ｆｘ在ａ上单调递减ａ上单调递增ｆｘｆ＞０，（）（－∞，ｌｎ），（ｌｎ，＋∞），∴（）ｍｉｎ＝ａａａａ（ｌｎ）＝－ｌｎ，只需ｆｘａａａ即ａａａ在ａ时恒成立．分（）ｍｉｎ＝－ｌｎ≥１，－ｌｎ－１≥０＞０………………７记ｇａａａａａ则ｇ′ａａａ（）＝－ｌｎ－１，＞０，（）＝１－ｌｎ－１＝－ｌｎ当ａ时ｇ′ａｇａ单调递增当ａ时ｇ′ａｇａ单调递减∵０＜＜１，（）＞０，（）；＞１，（）＜０，（）；ｇａｇｇａ∴（）ｍａｘ＝（１）＝１－ｌｎ１－１＝０，∴（）≤０只有ａ符合题意．∴＝１综上所述实数ａ的取值范围为．分，｛１｝………………………………………１０由可知当ａ时ｆｘ在上单调递增函数ｙｆｘ不可能有两个零（３）（１），≤０，（）Ｒ，＝（）点不合题意舍去．，，当ａ时ｆｘ在ａ上单调递减ａ上单调递增且当ｘ＞０，（）（－∞，ｌｎ），（ｌｎ，＋∞），→－∞时ｆｘ当ｘ时ｆｘ．，（）→＋∞；→＋∞，（）→＋∞要使函数ｙｆｘ有两个零点只需ｆｘｆａａａａ解得ａ．∴＝（），（）ｍｉｎ＝（ｌｎ）＝－ｌｎ＜０，：＞ｅ已知ｆ不妨设ｍｎ则有ｍａｎ．（０）＝１＞０，＜，０＜＜ｌｎ＜ｆ′ｘｘａ单调递增要证ｆ′ｍｎ只需ｍｎａ．∵（）＝ｅ－，∴（）＜０，＜ｌｎｍｎｍｎ＋只需证ｍｎａ∵＜，＋＜２ｌｎ２即证ｍａｎ＜２ｌｎ－，由单调性可知ｍａｎａｎａ＜ｌｎ＜，∴２ｌｎ－＜ｌｎ，ｆｘ在ａ上单调递减即证ｆｍｆａｎ分∵（）（－∞，ｌｎ），（）＞（２ｌｎ－）…………………１３方法一ｆｍｆｎ即证ｆｎｆａｎ．：∵（）＝（），（）－（２ｌｎ－）＞０令ｈｘｆｘｆａｘ其中ｘａ．（）＝（）－（２ｌｎ－），＞ｌｎ２２ｘａｘｘａｘａｈ′ｘｆ′ｘｆ′ａｘａ２ｌｎ－ａａ（）＝（）＋（２ｌｎ－）＝ｅ－２＋ｅ＝ｅ＋ｘ－２≥２ｅ×ｘ－２＝０，ｅｅｈｘ单调递增∴（），又ｎａｈｎｈａ即ｆｎｆａｎ．∵＞ｌｎ，∴（）＞（ｌｎ）＝０，（）－（２ｌｎ－）＞０ｍｎａ成立．∴＋＜２ｌｎｍｎａ．∴＜ｌｎｆ′ｍｎ．分∴（）＜０………………………………………………………………１７高三数学答案第页共页 ７（８）方法二ｆｍ即证ｆａｎ．：∵（）＝０，（２ｌｎ－）＜０２ａｎａ而ｆａｎ２ｌｎ－ａａｎａａａｎ（２ｌｎ－）＝ｅ－（２ｌ