2025届江西省鹰潭市高三下学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∈Zy=ln−x2−x+2，B=−2,0，则A∩B=（ ）A．−2,0 B．−1,0 C．−1,0 D．−2,−12．已知i是虚数单位，复数z满足(2−i)z=3−i，那么z的虚部是（ ）A．15 B．75 C．75i D．15i3．已知向量a=2,6，b=m,−1，若a+b⊥a−b且a⋅b>0，则实数m=（ ）A．3 B．3 C．−3 D．±34．已知sinα−β=16，sinαcosβ=14，则cos2α+2β=（ ）A．79 B．19 C．−19 D．−795．已知直线l1：mx+y+m=0和l2：x−my−3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）A．x−12+y2=4 B．x+12+y2=4C．x−12+y2=4x≠−1 D．x+12+y2=4x≠16．已知1+2xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋅⋅⋅+anxn，随机变量ξ∼N1,14，若a1a2=EξDξ，则a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an的值为（ ）A．81 B．242 C．243 D．807．过椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点M作圆x2+y2=b2的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在x轴，y轴上的截距分别为m，n，若a2n2+b2m2=2，则椭圆离心率为（ ）A．12 B．33 C．22 D．638．数列an满足a1=a2=1，an=an−1+an−2n≥3,n∈N*，给出下列四个结论：①存在正整数i1,i2,⋅⋅⋅,im，且i10时，成对样本数据成线性正相关；B．当r越大时，成对样本数据的线性相关程度越强；C．xn+1=x，yn+1=y时，成对样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,n,n+1的相关系数r′满足r′=r；D．xn+1=x，yn+1=y时，成对样本数据xi,yii=1,2,⋅⋅⋅,n,n+1的线性回归方程y=dx+c满足d=b；10．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为棱A1D1，BC的中点，P为正方形A1B1C1D1边上的动点（不与M重合）.Q为平面ABCD内一动点，则下列说法中正确的是（ ）A．存在点P，使得直线A1B1与平面MNP垂直B．平面MNP把正方体分割成的两个几何体的体积相等C．QB⋅QD1的取值范围为−3,+∞；D．若动点Q满足QA=2QB，当三棱锥Q−DD1A的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为24π.11．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：x2+y23=16x2y2被称为“四叶玫瑰线”（如图所示），Px0,y0是C上在第一象限内的一点.给出的下列三个结论中，正确结论的选项是（ ）A．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；B．曲线C经过5个整点（即横纵坐标均为整数的点）；C．存在一个以原点为中心、边长为22的正方形，使曲线C在此正方形区域内（含边界）.D．y0的最大值为839三、填空题12．已知函数fx=2x2+1，x≤0fx−3,x>0，则f4=.13．若正实数a，b满足条件：ea+b=ea+b（e是自然对数的底数），则ab的最大值是.14．如图：在△ABC中，M，N，P三点分别在边AB，BC，CA上，则△AMP，△BMN，△CNP的外接圆交于一点Q，称点Q为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AB=4，AD=2，M为CD边的中点，动点P在BC边上，△ABP与△CMP的外接圆交于点Q（异于点P），则BQ的最小值为.四、解答题15．已知函数fx=exsinx（e是自然对数的底数），gx为fx的导函数.(1)当x∈0,2π时，求不等式gx≥0的解集；(2)若函数hx=fx−x−π4gx，求函数hx在0,π上的极值.16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，∠A1AB=∠A1AC=2π3(1)求证：BC⊥AA1；(2)侧棱CC1上是否存在点D，使得直线AD与平面A1BC所成角的正弦值为7014？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.17．预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）：发病没发病合计接种疫苗71825没接种疫苗19625合计262450(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，A表示此动物没发病，B表示此动物接种疫苗，定义事件A的优势R1=PA1−PA，在事件B发生的条件下A的优势R2=PA∣B1−PA∣B，利用抽样的样本数据，求R2R1的估计值.(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为X，求随机变量X的分布列、数学期望.附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.Pχ2≥x00.0500.0100.001x03.8416.63510.82818．已知抛物线Γ的顶点为坐标原点O，焦点在y轴的正半轴上，过焦点作直线l交抛物线Γ于M，N两点，且OM⋅ON=−12. (1)求抛物线Γ的标准方程；(2)如图，过抛物线Γ上的三个不同点A，B，C（B在A，C之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D，E，F.是否存在常数λ，使得DA⋅FC=λDE⋅FE？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(3)当点C的横坐标为4时，以C为直角顶点，作抛物线的两个内接Rt△CPQ及Rt△CRT（抛物线的内接三角形是指三角形的三个顶点都在抛物线上），求线段PQ，RT的交点坐标.19．设a为正数，若以a为首项的等比数列an满足：a1+1，a2+2，a3+3也构成等比数列，则称an为a所对应的一个G型数列.(1)若G型数列an存在并且唯一，求a的值；(2)若an=a2n−1，n∈N∗，其中120=x∈Zx+2x−1<0=x∈Z−20；当m=−3时，b=−3,−1，a→·b→=−6−6<0.故选：B.4．A【分析】由条件求得cosαsinβ=112，进而得到sinα+β=13，再由余弦二倍角公式即可求解.【详解】由sinα−β=16，可得：sinαcosβ−cosαsinβ=16，又sinαcosβ=14，所以cosαsinβ=112，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ=14+112=13，所以cos2α+2β=1−2sin2α+β=1−29=79，故选：A5．C【分析】由题意可得两直线位置关系以及其所过定点，根据圆的方程，可得答案.【详解】由m⋅1+1⋅−m=0，则l1⊥l2，由l1:x+1m+y=0，则直线l1过定点A−1,0，由l2:x−3−my=0，则直线l2过定点B3,0，易知动点P的轨迹为AB为直径的圆，圆心1,0，半径r=2，由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P不能是−1,0，则动点P的轨迹方程为x−12+y2=4x≠−1.故选：C.6．B【分析】根据正态分布求出Eξ、Dξ的值，并求出a1、a2的表达式，根据题中条件求出n的值，利用赋值法可得出结果.【详解】因为随机变量ξ∼N1,14，则Eξ=1，Dξ=14，因为1+2xn=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn，则a1=Cn1⋅2=2n，a2=Cn2⋅22=2nn−1，所以，a1a2=2n2nn−1=1n−1=14，解得n=5，令fx=1+2x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，所以，f0=a0=1，f1=1+25=a0+a1+a2+a3+a4+a5故a1+a2+a3+a4+a5=35−1=242.故选：B.7．C【分析】设出相关点的坐标，借助向量垂直关系的坐标表示求出直线PQ方程，进而求出m,n，再代入a2n2+b2m2=2，得到a2=2b2，即可求出离心率.【详解】设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0)，则x02a2+y02b2=1，即a2y02+b2x02=a2b2，又x12+y12=b2，令坐标原点为O，OP=(x1,y1),MP=(x1−x0,y1−y0)，因为MP切圆x2+y2=b2于P，所以OP⊥MP，则OP⋅MP=x1(x1−x0)+y1(y1−y0)=0，所以x0x1+y0y1=b2，同理可得x0x2+y0y2=b2，因此直线PQ的方程为x0x+y0y=b2，则m=b2x0,n=b2y0，因此a2n2+b2m2=a2y02b4+b2x02b4=a2y02+b2x02b4=a2b2b4=a2b2=2，即a2=2b2，所以椭圆离心率e=a2−b2a=22.故选：C.8．D【分析】对于①，求得1+5+13+34+89+233+610=985，判断；对于②，利用反证法，推出矛盾，判断；对于③，利用递推公式得到an+4+an=3an+2，求出存在常数t=32，使得对任意n∈N*，都有an，tan+2，an+4成等差数列，判断；对于④，因为an+2=an+1+an，则an+12=an+2an+1−an+1an，算出a12+a22+a32+⋅⋅⋅+a20232=a12+a3a2−a2a1+a4a3−a3a2+⋅⋅⋅+a2024a2023−a2023a2022=a2024a2023，判断.【详解】对于①，由题意知数列中的项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，可得1+5+13+34+89+233+610=985，故①正确；对于②，若存在m∈N*，使得am，am+1，am+