绝密★启用并使用完毕前2025年3月济南市高三模拟考试数学试题本试卷共4页,19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合人={%|log2^，则z=u1A.2iB.-2iC.-2+2iD.-2—2i3.若直线2)x+3y+3=0与直线l2；2x+(m-Dy+2=0平行，则m=A.4B.—4C.1或—•4D.—1或44.若数列{aJ各项均为正数，则”{七}为等比数列''是{lna.}为等差数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.抛物线夕=3+2工+2的焦点坐标为A.(-by)B.(-14)C.(1，4)D.(1，4)z4Z4高三数学试题第1页(共4页)©r一]逐（0,6.已知函数z）=,、则/'（2工）+/般-3）>0的解集是1—ex,x>0,A.（—oo,l）B.（114-0°）C.（—8,—3）D.（—3,+°0）7.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4元，则圆台上下底面面积之差的绝对值为A.nB.2式C,4nD.87t7T8.已知0VaVfV丁，则LiA.sina—sin/?a/3二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关,某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2X2列联表，计算得到X2%2.727,根据小概率值为a的独立性检验，则附：P(X2^k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A.若a=0.100,则认为“毛色”和“角”无关B.若a=0.100,则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%C.若a=0.010,则认为“毛色”和“角”无关D.若a=0.010,：则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%10.已知艮，玛分别是椭圆c：t+[=i的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右4o顶点的一点，H是线段PF2的中点，则A.|OH|+|HF2|=2B.\OH\>1C.AOHF2内切圆半径的最大值为当0D.△HF1F2外接圆半径的最小值为1高三数学试题第2页（共4页）11.已知递增数列｛aj的各项均为正整数，且满足*=3n，则A.a%=3B.a”>C.as=6D.<22025=81azs三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分。12.将两个1,两个3,一个5排成一行,则不同的排法种数为.(用数字作答)13.函数/(x)=|sinx14-cosx的最小值为。14.已知正四面体ABCD的棱长为，动点P满足PA?+PB2=PC2+PD2，用所有这样的点P构成的平面截正四面体,则所得截面的面积为.四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为v，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为v.已知输入oZ的问题表达不清晰的概率为1.(1)求智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示智能客服的回答被采纳的次数.求X的分布列、期望及方差.16.(本小题满分15分)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4,AB=AD=2,点尸在线段BE上.(1)求证：平面ACP_L平面ABF；(2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为高三数学试题第3页(共4页)17.(本小题满分15分)已知双曲线C：三一4=l(a>0,6>0)的离心率为物,0为坐标原点，过C的右焦点a2b1的直线Z交C的右支于P,Q两点，当，工轴时，|PQ|=2V2.(1)求C的方程；(2)过P作直线2=1的垂线，垂足为N.(i)证明:直线QN过定点；(ii)求△OQN面积的最小值.18.(本小题满分17分)已知€R，函数F(力)~a-bx，工6[0,4-oo).(1)当a=0时，求八力)的极值；(2)若f(%)存在零点.(i)当6=0时，求a的取值范围；(ii)求证：>+/>2.19.(本小题满分17分)如图，已知给定线段BQ1长为2,以为底边作顶角为外0°<夕<90°)的等腰三角形AiBCi，取的腰A】Bi的三等分点B2,C2(B2靠近A1)，以B2c2为底边向外部作顶角为6的等腰三角形A2B2c2……依次类推，取△A-BiCi的腰的三等分点凡，&(B,靠近A”_】)，以B”C”为底边向△A1B1C1外部作顶角为6的等腰三角形A“B”C.a>2)，得到三角形列｛zMnBnCn).⑴用0表示出ZVlzB2c2的外接圆半径；(2)当6=60°时,证明：｛△A“B”C“｝各顶点均在△AiB】g外接圆上或其内部；(3)若｛△A”B“C”｝各顶点均在外接圆上或其内部，求cos夕的取值范围.高三数学试题第4页(共4页).2025年3月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BADCBABD二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。题号91011答案BCACDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.3013.-114.2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解析】解：（1）设4=智能客服的回答被采纳，B=输入问题表达不清晰”，1-7由题意可知，P(5)=1,P(B)=l--1=-4,尸(川8)=；］(川8)=看,55528--11474P(4)=P(B)P(A|B)+P(5)P(^|B)=JX2+5X8=5，4智能客服的回答被采纳的概率为4(2)由题意得，X的可能取值为0,1,2,3.X〜8(3,?.所以X的分布列为X0123P1124864125125125125所以，E⑺=0x赤+lx京+2x祺+3x黑制或E(X)=3xL。⑻=(0416.【解析】(1)证明：因为平面功ErJL平面/8C0,△平面ADEFCI平面ABCD=AD,AF1AD,AFu平面ADEF,所以/产，平面/8C0.因为/Cu平面/BCD,所以/户JL4C.过/作于〃，则卸/=1,力〃=^,CH=3,所以ACF收贝1JAB2+AC2=BC2,所以＜CJ_48.因为NBflAF=AyAB,AFu平面ABF,所以NCJ•平面/BE又因为/Cu平面NCP,所以平面ACP1平面ABF.(2)以N为坐标原点，ABMCjF的方向分别为x轴、y轴、2轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.贝必(0,0,0),5(2,0,0),C(0,2石,0),E(-1,❷2),~BE=(-3,石2),就=(-2,2^,0).设而=点瓦4G[0,1],贝IJBP=(-3儿后1,24),所以P(2-3儿&,24),故万=(2-3九折,2%).设”=(xj,z)为平面BCE的法向量，贝I」一3x+吗+2z=0,解得卜夕-2x+2。3y=0[x=y/3y令y=l,得〃=（3,同）.设直线AP与平面BCE夹角为6,sin6=|cos（AP,〃）卜_______63幅V2TV16Z2-!2A+414整理得4才一34+；=0,即（44一|）（；1_9=0,所以4情或耳•所以胃菖或普=；•17.【解析】（1）因为C的离心率为近，所以a=b,c=&a，因为当/lx轴时，尸0=2后，所以不妨令尸（&d内代入C中得，竽-Q1,所以，==2,则c：4一〈=i.22（2）（i）设尸（芭,M）,。（均,%）,贝IJNQM，因为/斜率不为0,所以设/==叩+2,与。:幺一/-2=0联立得（31）射+4叩+2=0,所以62一］工o,a=8加2+8>0,△4m2VK+3-R'叩2=k因为收则直线股的方程为蚱号（-）+九由双曲线对称性得直线N。所过定点必在x轴上，故令y=0得0=%二?3-1）+必，则再一1_4m乂一月一为/出生丫w所以x一必一必._%-〃必必一2M./,+j2=^Tx-…，因为“或+2所以x---'因为2叩2-g所以上也.=一2m，则组?=〃仍%,所以丫_必_孙必_2必/+'2_2必_3.，以一2X—必_弘一为一%-23所以直线N。恒过〃（苏0）.（ii）因为=夕。切瓦-力|=和-力|=1•他+力）2-仇”^2'w2-1*0由⑴得，•A=8m2+8>0所以2网=k。令1=/一1(一14<0)，所以当1?=孚后段，令/。)=苧J；+Q，G[-1,O),所以在ZG[-1,O)上单调递增，所以/⑺沟(T)=乎.综上，△O0N面积的最小值为逑.218.【解析】(1)a=O时，/'(x)=e*-b,当时,/'(x)>0,函数/(x)单调递增，既无极大值也无极小值.当6>1时，xw[0,ln6),函数/(x)单调递减，x€(lnZ>,+<»),函数/(x)单调递增，函数/(x)的极小值是6-61n6,无极大值.⑴当6=0时，因为函数/(X)存在零点，故q有解，若*=0,此时无解，所以x>。，g(x)=ex-a>Jx有解,gr(x)=ex--^==,①若gWO,g(x)单调递增，g(x)>g(O)=l此时不存在零点：②若a>0,令方(x)=2c，4一a,A(0)=-a<0,〃Q2)=e/a-a>(),由零点存在定理可知存在xoe(O,a2),h(xJ=Q,所以g(x)在(0,%)上为减函数，在(%,―)上为增函数，故g(x)而小物-。扃=京-。氏这0,解得铲;，•故心公=仄・(ii)因为函数/(X)存在零点，所以『⑻二炉-a瓜-bx有解%,其中升之0,若%=0,则l-ax0-6x0=0,该式不成立，故％>0.故a6+bxQ-e=0,考虑直线-e=0,T万表示原点与直线aR+及。-e&=0上的动点(a,6)之间的距离，庐/-------前--------府二'所以'+心▽a%%>0时，要证”2+/>2,只需证二一>2X。+Xq即证6%—2/2-2~>0.令g(x)=e2*-2X2-2x,x>0,贝！j-4x-2=2(e2,-2x-1),A(x)=(e2jf-2x-l)^A,(x)=2(e2jf-l)>0,〃(力在(0,2)上为增函数，故〃6)>力(。)=0.即g'(x)>0,g(x)在(0,e)上为增函数,e%故g(x)>g(O)=l,故---->2,即，+62>2成立.X。+X。19.【解析】(1)设△4&G的外接圆半径为弓：由题意知,4耳=81cl=~~0b2c2==-2sin-sin2'33sin-2222r-B^-1又4=6,故2sin^3sin^n£・21故MBzCz的外接圆半径为马=心房印.osinc/sin一(2)设△4)8.C的外心为外接圆半径为小与1G的中点为M.，BnC„=ln,ffl||r-l»AnBn=-^-011=9也=~^则F'2s啖36s喙注意到4TBi的中点也为Mno故的中垂线与BnCn中垂线重合.由题意知均在纥C的中垂线上.0ABO='T而-r-O„I1Kl-AnIM-tan—2=2