2024-2025学年河南省部分名校高二下学期3月大联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=−mx，f′(x)为f(x)的导函数，且f′(1)=2，则实数m=( )A.0 B.12 C.1 D.22.双曲线C:x212−y23=1的渐近线方程为( )A.y=±14x B.y=±12x C.y=±2x D.y=±4x3.已知{an}是等比数列，若a3a8=2a5，a9=16，则{an}的公比q=( )A.4 B.2 C.12 D.144.已知矩形ABCD的边AB所在直线的方程为2x−y+4=0，顶点D(0,−1)，则顶点A的坐标为( )A.(−2,0) B.(−1,0) C.(1,0) D.(2,0)5.若存在a∈R，使得直线ax+2y−b=0与圆C:x2+(y+1)2=1相切，则实数b的取值范围为( )A.(−∞,−4] B.[0,+∞) C.[−4,0] D.(−∞,−4]∪[0,+∞)6.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，E，F分别为AB1，BC1的中点，点G为上底面A1B1C1D1的中心，则直线EG与DF夹角的余弦值为( )A.55 B.53 C.35 D.337.已知某圆柱的表面积为4π，则该圆柱的体积的最大值为( )A.263π B.569π C.469π D.63π8.已知a>1，函数f(x)=1+logax，g(x)=a2x2，当x>0时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象下方(所有点均不重合)，则实数a的取值范围为( )A.(1,e12e) B.(1,e1e) C.(e12e,+∞) D.(e1e,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a7=4，S9=0，则下列结论正确的有( )A.a1=−10 B.an=2n−10 C.S20=220 D.数列{Sn}中有且仅有一个最小项10.已知函数f(x)=m(x−1)n(x−m)(m≠0,n∈N∗)，则下列结论正确的有( )A.当n=1，m<0时，f(x)只有最大值，无最小值B.当n=1，m>0时，f(x)有两个极值点 C.当n=2，m>1时，x=1是f(x)的极大值点 D.当n=2，01，f(x)>f(x)11.已知点P(x0,y0)在曲线C:x4−2x2+y2=0上，点F(1,0)，则下列结论正确的有( )A.曲线C关于原点对称 B.−2≤x0≤2 C.|PF|的最小值为1 D.曲线C与x轴的非负半轴、直线x=1所围成区域的面积大于12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知m∈R，向量a=(1,m,−2)，b=(m,2,3)，若a⋅b=6，则|a|= ．13.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+2x−y−6=0的相交弦所在直线为l，若l与抛物线y2=4x交于A，B两点，则|AB|= ．14.数列{an}的通项公式为an=(2n−1)⋅4n，则{an}的前n项和Sn为 (用含n的式子表示)．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=exx−a(a>0)，曲线y=f(x)在(0,f(0))处切线的斜率为−2．(1)求实数a的值;(2)研究f(x)的单调性;(3)求f(x)的极值．16.(本小题12分) 如图，四棱锥P−ABCD的底面为菱形，∠BAD=60∘，且侧面PAB是边长为2的等边三角形.取AB的中点E，连接PE，DE． (1)证明：AB⊥平面PDE;(2)证明：△PCD为直角三角形;(3)若PD=3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．17.(本小题12分)已知正项数列{an}中，a1=23，3n+1(an+1−an)=2．(1)证明：数列{1+3nan}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设bn=[log3(1−an)]2，证明：4b1+4b2+⋯+4bn<7．18.(本小题12分)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下焦点为F(0,−2)，其离心率为22．(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F的直线与椭圆C交于P，Q两点(直线PQ与坐标轴不垂直)，过P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，N，若直线PN与QM交于点H，证明：点H的纵坐标为定值．19.(本小题12分)定义函数Tn(x)满足Tn(cosx)=cosnx，且Tn(x)的定义域均为[−1,1]，n∈N∗.已知函数f(x)=12T1(x)⋅[T2(x)+1]lnx.(1)求f(x)的解析式和定义域;(2)求f(x)的最小值;(3)若x1，x2(00)，所以f′(x)=x−a−1(x−a)2ex，由题意可知，f′(0)=−a−1a2=−2， 解得a=1或a=−12(舍去)，故实数a的值为1； (2)(2)f(x)的定义域为{x|x≠1}， 由(1)可知，f′(x)=x−2(x−1)2ex， 令f′(x)=0，解得x=2，当x∈(−∞,1)∪(1,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(−∞,1)，(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， (3)由(2)知，f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增， 故f(x)在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=e22−1=e2，无极大值． 16.(1)证明：因为侧面PAB是等边三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB． 因为四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60∘，所以DE⊥AB． 又PE∩DE=E，PE，DE⊂平面PDE，AB⊂平面PDE，所以AB⊥平面PDE． (2)证明：因为AB//CD，所以CD⊥平面PDE． 又PD⊂平面PDE，所以CD⊥PD，故△PCD为直角三角形． (3)解：因为AB⊂平面ABCD，故由(1)可知，平面PDE⊥平面ABCD，易求PE=DE=3， 又PD=3，所以△PDE为等边三角形， 取DE的中点O，连接OP，则OP⊥DE， 因为DE为平面ABCD与平面PED的交线，OP⊂平面PED， 所以OP⊥平面ABCD． 以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，直线OD，OP分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz， 则B(1,−32,0)，C(2,32,0)，D(0,32,0)，P(0,0,32)，PB=(1,−32,−32)，CD=(−2,0,0)，PD=(0,32,−32)， 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，由CD⋅m=−2x=0,PD⋅m=32y−32z=0, 取z=1，得m=(0,3,1)． 设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ=|cos|=|m⋅PB||m||PB|=32×2=34， 故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为34． 17.(1)证明：由3n+1(an+1−an)=2得，3n+1an+1=2+3n+1an， 则1+3n+1an+1=3+3n+1an=3×(1+3nan)， 因为an>0，所以1+3n+1an+11+3nan=3， 又1+3a1=1+3×23=3，故数列{1+3nan}是首项为3，公比为3的等比数列． (2)解：由(1)可知，1+3nan=3×3n−1=3n，故an=3n−13n=1−(13)n． (3)证明：由(2)得，bn=[log3(1−an)]2=[log3(13)n]2=n2， 当n=1时，4b1=4<7，不等式成立; 当n=2时，4b1+4b2=4+422=5<7，不等式成立; 当n≥3时，1n2<1n(n−1)=1n−1−1n， 所以4b1+4b2+⋯+4bn<4[1+122+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1−1n)]<5+(2−4n)=7−4n<7， 综上可知，4b1+4b2+⋯+4bn<7． 18.解：(1)由题意可知，a2−b2=4,2a=22,解得a2=8，b2=4， 故椭圆C的标准方程为y28+x24=1； (2)证明：设直线PQ的方程为y=kx−2(k≠0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则M(0,y1)，N(0,y2)， 由y28+x24=1,y=kx−2,得(k2+2)x2−4kx−4=0，显然，Δ>0， 则x1+x2=4kk2+2，x1x2=−4k2+2， 易知直线PN与QM的斜率均存在，则直线PN的方程为y=−y2−y1x1x+y2 ①， 直线QM的方程为y=y2−y1x2x+y1 ②， 联立 ①) ②消去x得，y=x1y2+x2y1x1+x2 =x1(kx2−2)+x2(kx1−2)x1+x2=−2+2kx1x2x1+x2=−2+−8kk2+24kk2+2=−4， 故点H的纵坐标为定值−4． 19.解：(1)由题意得，T1(cosx)=cosx，故T1(x)=x， 又T2(cosx)=cos2x=2cos2x−1，所以T2(x)=2x2−1， 故f(x)=x3lnx，f(x)的定义域为(0,1]． (2)f′(x)=3x2lnx+x2=x2(3lnx+1)， 令f′(x)=0，解得x=e−13， 当x∈(0,e−13)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;当x∈(e−13,1]时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)min=f(e−13)=(e−13)3lne−13=−13e； (3)证明：因为x1，x2(00， 即证lnx2x1+1−(x2x1)32(x2x1)3+1>0， 令m=x2x1(m>1)，则只需证lnm+1−m32m3+1>0， 设g(m)=lnm+1−m32m3+1(m>1)， 则g′(m)=1m−9m2(2m3+1)2=4m6−5m3+1m(2m3+1)2 =(4m3−1)(m3−1)m(2m3+1)2>0， 所以g(m)在(1,+∞)上单调递增， 则g(m)>g(1)=0，所以lnm+1−m32m3+1>0成立， 故a(2x13+1x23)<−1．