安徽省黄山市、宣城市2025届高三下学期毕业班质量检测（二模）数学试卷（解析）

黄山市2025届高三毕业班质量检测数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由，或，所以.故选：D2.设复数满足，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【详解】由题设，则.故选：A3.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（）A. B.C. D.【答案】C【详解】此陀螺圆柱体积，设此陀螺圆柱的底面半径为，则，∴此陀螺圆柱的底面面积.故选：C.4.为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（）A.3.2 B.5 C.5.04 D.15.7【答案】A【详解】由题意及，则，可得吨.故选：A5.已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】依题意，，而，因，故得.故选：B.6.已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【详解】由题意，设前10项等差数列的公差为，则，解得，所以设第9项起依次成的等比数列的公比为，则，即.所以.故选：B.7.如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（）A. B. C. D.10【答案】C【详解】由题设，，则，而，所以，则，由，，则，而，又，所以，则，由.故选：C8.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【详解】根据题意，求导得，由即解得，所以函数的“新驻点”.同理，求导得，则即，设函数，易知函数在定义域上单调递增，且，根据零点存在定理可知，的根.由求导得，则即，设函数，则，所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.因为，根据零点存在定理，可知的根.综上，.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（）A.当船的航行时间最短时，B.当船的航行距离最短时，C.当时，船的航行时间为6分钟D.当时，船的航行距离为【答案】AC【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度，河宽，则渡河时间，当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确；对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，则，所以，故B错误；对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度，船的航行时间，即6分钟，故C正确；对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则，当时，，所以，因为船垂直河岸方向的分速度，所以船的航行时间，所以船的航行距离为，故D错误.故选：AC.10.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（）A.的最小值为4B.以线段为直径的圆与直线相切C.当时，则D.【答案】BCD【详解】由题设，则，，可设，联立抛物线得，显然，所以，，则，当且仅当时等号成立，A错；由抛物线的定义知，而的中点横坐标为，所以的中点与直线的距离为，即为的一半，所以以线段为直径的圆与直线相切，B对；若，且，则，而，所以，则，所以，则，C对；由，D对.故选：BCD11.已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（）A.上有且只有1个零点 B.在区间上单调递增C. D.【答案】ACD【详解】令，而是定义在上的奇函数，则，，即在R上也是奇函数，而，当时，，所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减，综上，时，时，，故，显然时，故时，时，所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对；由，显然在上单调递增，且，在上单调递减，在上单调递增，且周期为，，所以在上不一定单调，B错.故选：ACD三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分.12.已知函数，则________．【答案】0【详解】由，可得.故答案为：0.13.某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法．【答案】1280【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.所以，总共有种不同的安排方法.故答案为：1280.14.已知，都是锐角，，，则________．【答案】##【详解】由，可得，故，因，代入解得，可将看成方程的两根，解得或，因，都是锐角，且，由，解得，而，故，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：每周体育锻炼的时间（小时）人数34811412085用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：（1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；（2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值．附：若，则，，．【答案】（1）个学生；（2）分布列见解析，均值为.【小问1详解】由题设，且，所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，由，所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上；【小问2详解】由（1）知，则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布，所以，，，，所以分布列如下，0123.16.平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值．【答案】（1）（2）1【小问1详解】设到定直线的距离为，依题意，可得，化简得，即曲线的方程为.【小问2详解】依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：，则圆的圆心到直线的距离，即①由消去，可得，由，可得，设，则，则，将①式代入，化简得：，因点到直线的距离为，则的面积为，设，则，，因，当且仅当时取等号，此时，的面积的最大值为.17.如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2．（1）证明：平面；（2）求平面和平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）0.【小问1详解】如图，连接，交于点，四边形是平行四边形，为的中点，，，故，故为的三等分点，，为的三等分点，即F为的中点，又为的中点，，即平面，平面，平面.【小问2详解】由题意，，，则是等边三角形，所以，，，.在中，，根据余弦定理，，故，即，，故，又在等边中，为的中点，，，，平面，平面,平面.平面，，又，，平面，平面，平面.在中，,.由题意，，所以梯形是等腰梯形，则，所以，又，.以点为坐标原点，以分别为轴、轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示坐标系.  则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以设平面和平面的夹角为,则，所以平面和平面的夹角余弦值为0.18.已知函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，判断函数在区间上的单调性；（2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（3）求证：当时，．【答案】（1）函数在区间上的单调递减；（2）；（3）证明见解析.【小问1详解】由题设，则，当，有，则，所以在区间上的单调递减；【小问2详解】由题设，则，所以上，即在上有解，令且，则，所以在上单调递增，故，即；【小问3详解】由，只需证恒成立，令，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，所以，故，所以，恒成立.19.若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．（1）若（是正整数），求，，的值；（2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；（3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）存在，最小k为7.【小问1详解】由题设，且，所以，即，，，即，，，即，，所以，，；【小问2详解】由题设，则，所以，，则，所以，，，所以，故，即数列是等差数列；【小问3详解】当为奇数时，，则，由，即，，则；当为偶数时，，则，由，即，，则；所以且，则且，而，要使，则，当且，则，所以，则，可得；当且，则，所以，则，显然不成立；综上，时最小值为7.