2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（四）本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,，则()A. B. C. D.[解析]由题得，所以.故选B.√2.已知复数为方程的根，则()A.2 B. C.3 D.[解析]法一：由,得,所以.故选D.法二：将代入，得，即，解得，所以.故选D.√3.已知正项等比数列的前项和为，且，则()A.3 B.2 C.1 D.[解析]设数列的公比为,,由，得，即，即，又，所以，又，所以，则，所以数列为常数列，所以.故选C.√4.已知向量，，则在上的投影向量为()A. B. C. D.[解析]由题可得，，所以在上的投影向量为.故选A.√5.某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为()A. B. C. D.[解析]由这6名学生组成的小组共有种情况，其中只有一个小组的2名学生来自同一年级的情况有种，故所求概率为.故选C.√6.已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同的解,，则的最大值为()A. B. C. D.[解析]由题得，当时，，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，令，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，因为关于的方程有两个不同的解,，所以,关于直线对称，所以.故选B.√7.已知圆与抛物线交于，两点，且直线过的焦点，点与点关于原点对称，为上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为()A.1 B.2 C. D.√[解析]由题得圆心，所以圆关于轴对称，因为抛物线关于轴对称，且直线过抛物线的焦点，所以直线垂直于轴，不妨设点在第一象限，则，所以，即，解得或（舍），所以抛物线，，因为点与点关于原点对称，所以，所以在中，，当时，，；当时，，此时；当时，不存在.综上，面积的最大值为2.故选B.8.任意作一条直线分别与定义域均为的函数,,的图象交于点,,,若点始终为线段的中点,则称,是关于的“对称函数”.已知定义域为的函数,,且,是关于的“对称函数”.若,,成立,则的取值范围是()A., B. C. D.,[解析]因为,是关于的“对称函数”,所以,定义域为,所以,即,当且仅当时取等号,又,当或1时取等号,所以,,由在上单调递增,可得的值域为,由题意可得,解得.故选D.√二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.2024年10月27日，国家统计局发布了全国规模以上工业企业各月累计营业收入与累计利润总额同比增速的统计数据，如图所示，则()A.累计营业收入增速的方差比累计利润总额同比增速的方差小B.累计利润总额同比增速的极差为C.累计营业收入增速的上四分位数为D.累计利润总额同比增速的平均数超过√√[解析]对于A，由图可知，累计营业收入增速的数据比累计利润总额同比增速的数据更平稳，所以其方差相对来说更小，故A正确；对于B，累计利润总额同比增速的极差为，故B错误；对于C，累计营业收入增速的数据从小到大排列为,,,,,,,,,,,，共12个数据，因为，所以上四分位数为，故C正确；对于D，累计利润总额同比增速的平均数为，故D错误.故选.10.已知函数，则()A.有两个极值点的充要条件为B.当时，若，且,为的两个极值点，则C.当，时，图象的对称中心为点D.若的图象上有3个不同的点,,，这3个点处的切线的斜率分别记为,,，则为常数[解析]对于A，由题可得，令，当，即时，方程有两个不等实根，此时有两个极值点，故A正确；对于B，由题可知,√√√，解得,，所以，，,由韦达定理及极值点的定义可得,，所以，故B错误；对于C，当，时，，则，所以，所以图象的对称中心为点，故C正确；对于D，由题可得，则，所以，,，则，故D正确.故选.11.在棱长为的正方体中，点在线段上，过点与棱的平面截该正方体得到一截面，则()A.四面体的体积随点的改变而改变B.C.当时，截面图形的面积为D.当时，以点为球心，长为半径的球面与截面图形的交线长为√√√[解析]对于A，四面体的体积为定值，故A错误；对于B，连接，因为平面,平面，所以，因为,,，平面，所以平面,又平面，所以，故B正确；对于C，过点作交于点，交于点，连接，，则，所以四边形即为所求截面图形，易得四边形为矩形，因为，所以，则，所以，所以截面矩形的面积，故C正确；对于D，过点作于点，因为平面,平面，所以，因为,，平面，所以平面，所以点为以点为球心，长为半径的球面被平面所截得到的小圆的圆心，所以球面与矩形的交线为以点为圆心，长为半径的半圆弧，因为，，所以，所以，则，所以，则所求交线的长为，故D正确.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数满足条件:①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式__________________________________________.（答案不唯一，写出一个即可）[解析]函数的对称轴为轴，有一个最小值，两个零点,，符合题意.13.在直角梯形中，，，，以边所在直线为轴，旋转一周后得到的几何体可以看作是由圆锥与圆柱构成的几何体，则该几何体中圆锥与圆柱的体积比为__.[解析]由题可得,，所以.14.已知双曲线的左、右焦点分别为,，，离心率为,点在的右支上，且,，若，则___.[解析]由,，得，则在中，由余弦定理得.由双曲线的定义得，则在中，由余弦定理得，所以，化简得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）记数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；解:因为，所以当时，，则；（1分）当时，，则，所以，满足该式.（4分）综上，.（5分）（2）在等比数列中，，.（ⅰ）求数列的通项公式；[答案]设数列的公比为，因为，，所以，解得，（7分）所以.（8分）（ⅱ）记，求数列的前项和.[答案]由（ⅰ）可得，所以，则，（10分）两式相减得，（12分）所以.（13分）16.（本小题满分15分）近几年，人工智能的应用越来越受到人们的重视与应用，比如“”是一个基于人工智能的写作助手，它可以帮助用户自动生成各种文本内容，如博客文章、头脑风暴、待办事项等等，因此它的应用迅速融入了我们的生活，特别是教师团队.某市为了解该市的教师是否喜欢运用“”，随机抽取了该市100名教师，统计了他们一周内使用“”帮助写作的次数，并将一周内使用“”帮助写作的次数超过3次的认定为喜欢运用“”，不超过3次甚至从不使用“”的认定为不喜欢运用“”，统计数据如表所示.年龄是否喜欢运用“”合计喜欢不喜欢不超过40岁351550超过40岁104050合计4555100（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市的教师是否喜欢运用“”与年龄有关？解:零假设该市的教师是否喜欢运用“”与年龄无关.经计算得，（3分）依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该市的教师是否喜欢运用“”与年龄有关.（4分）（2）该市的张老师在写周一、周二的博客文章时习惯使用“”与“文心一言”来帮助写作，且周一等可能的从“”与“文心一言”中随机选择一个，若周一选择使用“”，则周二选择使用“”的概率为；若周一选择使用“文心一言”，则周二选择使用“文心一言”的概率为，求张老师周二选择使用“文心一言”的概率；解:记事件,分别表示张老师周一、周二选择使用“”，事件,分别表示张老师周一、周二选择使用“文心一言”，则,,，所以，（8分）所以张老师周二选择使用“文心一言”的概率为.（10分）（3）用样本频率估计概率，现从该市随机抽取20名教师，记其中喜欢运用“”的教师人数为随机变量，“”的应用度为随机变量，且，求，的期望和方差.附:，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解:由题意可知，任意抽取一名教师，该教师喜欢运用“”的概率为，则，（11分）所以，，（13分）因为，所以，.（15分）17.（本小题满分15分）如图，是正的一条中位线，为线段的中点，，将沿折起，得到四棱锥，且平面平面.（1）证明:平面；解:连接，因为为正的中位线，为的中点，所以，所以，（2分）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.（4分）（2）为线段上一点，若平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.解:延长交于点，连接,则为的中点，所以，，由题易知，则，又，所以即为平面与平面的夹角，则，所以，（7分）因为,,所以，由（1）可知平面，所以,,两两垂直，（8分）以为原点，,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,0,，所以,，.（10分）设平面的法向量为，则，取，得,，所以，（13分）所以点到平面的距离.（15分）18.（本小题满分17分）已知函数，.（1）若在其定义域上单调，求的取值范围；解:因为，,，所以.（1分）因为在区间上单调，若在区间上单调递增，则在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，所以；（3分）若在区间上单调递减，则在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，所以.（5分）综上，的取值范围为.（6分）（2）若.（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；[答案]当时，，，则，所以，（8分）又，所以曲线在点处的切线方程为.（9分）（ⅱ）若，求的取值范围.[答案]由，得在区间上恒成立，令，，则，且，因为在区间上恒成立，所以，解得.（12分）因为，所以，，所以当时，，所以在区间上单调递减，（15分）所以，满足题意，所以的取值范围为.（17分）19.（本小题满分17分）定义:由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比.已知椭圆与焦点在轴上的椭圆是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为.（1）求的标准方程；解:由题得椭圆，设其右焦点为，右顶点为，上顶点为，则，，，所以,,.（3分）设椭圆，其右焦点为，右顶点为，上顶点为，由“相似三角形关联椭圆”的相似比为，得，即，（5分）解得,,，所以椭圆的方程为.（6分）（2）求的离心率，并通过比较与的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）；解:由（1）可得椭圆的离心率为，椭圆的离心率为，所以椭圆与椭圆的离心率相等，所以“相似三角形关联椭圆”的离心率相等.（9分）（3）设的左顶点为，过点的直线与交于，两点，求面积的最大值.解:由题可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，,，,联立，得，，则，，（12分）所以，令，则，，所以.（15分）令,，则，所以在上单调递减，所以，所以面积的最大值为.（17分）