2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（五）本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则的子集的个数为()A.4 B.8 C.15 D.16[解析]因为,,所以,所以的子集的个数为.故选D.√2.某品牌电动汽车公司为了解车主使用电动车辅助驾驶功能的情况,进行了问卷调查,从中抽取了100位车主进行抽样分析,得出这100位车主每人在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的频率分布直方图,则样本中车主使用辅助驾驶功能次数的分位数为()A.62 B.64 C.66 D.68[解析]设样本中车主使用辅助驾驶功能次数的分位数为,则,解得.故选C.√3.已知在梯形中,,记,,则()A. B. C. D.[解析]因为,,,所以,因为,所以,所以.故选A.√4.在直三棱柱中,,,是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.[解析]因为,所以（或其补角）为异面直线与所成的角.因为,,所以,所以,所以,所以,所以异面直线与所成角的余弦值为.故选B.√5.已知函数的最小正周期为,则图象的一个对称中心可以为()A. B. C. D.[解析]由题意知,得,所以,令,,得,,当时,,所以图象的一个对称中心为.故选D.√6.已知等比数列的前项和为,,,若对于任意,不等式恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.[解析]设数列的公比为,由题意知,且,,解得,,所以,因为,当且仅当,即时等号成立,所以,解得.故选A.√7.有一个3行3列的表格,在每一个格中分别填入数字0或1,使得3行中所填数字之和恰好是1,2,3各一个,3列中所填数字之和恰好也是1,2,3各一个（如图为其中一种填法）,则符合要求的不同填法有()001011111A.24种 B.36种 C.48种 D.72种[解析]法一：显然在符合要求的填法中,应该填入3个数字0和6个数字1,按照下面的顺序填入这3个数字0,先找到一行并填入2个数字0和1个数字1,选出这样1行共有3种选法,再从该行的3个格中选出2个填入数字0,这一步共有种不同的填法,剩余1个数字0有4种填法,所以符合要求的不同填法共种.故选B.√法二：如图，问题可转化为将1，2，3全排列填入,,三个格中，再将1，2，3全排列填入,,三个格中，故不同填法有种.故选B.8.若函数的定义域为,且对任意,满足,,则称为“函数”.已知为“函数”,且,则()A.948 B.1176 C.1178 D.1380[解析]由,可知,,以上三个式子相加得,又,所以,所以,,,,,以上式子相加得,所以.故选C.√二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.关于复数,,下列说法正确的是()A. B.C.若,则 D.若,则为纯虚数√√[解析]对于A,当时,,因为,,所以,故A错误；设,,且,,,,对于B,,,所以,故B正确；对于C,取,,满足,但不满足,故C错误；对于D,由,得,则,,所以为纯虚数,故D正确.故选.10.声音由物体的振动产生,以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中,常用声音的声强级来度量,声强级与声强的关系近似满足,经过多次测定,得到如下数据:声强声强级102030已知烟花的噪声的声强级一般在,其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在,其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在,其声强为,则()A. B. C. D.√√√[解析]由题意可得,即,解得,所以,故A正确；因为,所以,解得,故B错误；由,得,故C正确；设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为,,,由题意知,,,所以,所以,所以,即,所以,故D正确.故选.11.已知抛物线的焦点为,准线为,,为上的两个动点,则()A.当时,直线的斜率为B.记与轴交于点,存在,,使得C.若为圆上任意一点,则的最小值为9D.若以线段为直径的圆与相切,则,,三点共线[解析]对于A,如图1所示,过点,分别作准线的垂线,垂足分别为,,过点作于点,√√√则由和抛物线的定义得,,所以,所以,此时,根据对称性可知直线的斜率为,故A正确；对于B,如图2所示,设直线的方程为,代入,得,令,解得,当直线与相切时,最大,同理,当直线与相切时,最大,此时的最大值为,所以不存在,,使得,故B错误；对于C,如图3所示,过点作于点,由题意可得,的方程为,,因为,所以,当,,三点共线时,取得最小值,最小值为,所以的最小值为,故C正确；对于D,易知直线斜率不为0,设直线,以线段为直径的圆与相切于点,设,,,则,由得,,则,,所以,,.由,得,则,即,所以,解得,故直线,所以直线过,所以,,三点共线,故D正确.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知幂函数的定义域为,其图象关于原点对称,且在上单调递减,则的值可以是__________________.（写出一个即可）（答案不唯一）[解析]举例,即,定义域为,,所以为奇函数,即图象关于原点对称,又在上单调递减,所以满足题意.13.已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点作平行于轴的直线与交于，两点,与轴交于点,,且,则的方程为___________.[解析]如图所示,连接,因为,为的中点,所以为的中点,又因为,则,又,所以是等边三角形,所以,设,则,所以,则由椭圆的定义可知,即,得,因为,所以,解得,所以,所以,,所以的方程为.14.若过点有条直线与函数的图象相切,则当取最大值时,的取值范围为______.[解析]因为,所以,设过点的切线与的切点为,则切线的方程为,代入得,整理得,设,则,当或时,,单调递减；当时,,单调递增,画出的大致图象，如图,所以当时,取得极小值,极小值为0；当时,取得极大值,极大值为8,直线与图象的交点个数即为的值，由图象可知,或2或3,当时,即直线与的图象有3个交点,由图象可得.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）记的内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；解:因为，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以，（3分）又，所以，所以，故.（5分）（2）若为边上的一点，，，.（ⅰ）求；[答案]在中，由余弦定理得，即，解得.（7分）（ⅱ）求的面积.[答案]在中，由余弦定理得，所以.因为，所以，（9分）所以.（11分）在中，由正弦定理得，解得，（12分）所以.（13分）16.（本小题满分15分）某自助餐厅为了吸引顾客,鼓励消费,设置了一个抽奖箱,箱中放有8折、8.5折的奖券各一张,9折、9.5折的奖券各三张,每张奖券的形状都相同,每位顾客可以从中任取3张奖券,最终餐厅将在结账时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算.（1）若该自助餐厅有,两个餐厅,顾客甲第一次随机地选择一个餐厅用餐,如果第一次去餐厅,那么第二次去餐厅的概率为0.56；如果第一次去餐厅,那么第二次去餐厅的概率为,求顾客甲第二次去餐厅用餐的概率；解:设“第次去餐厅用餐”,“第次去餐厅用餐”,根据题意得,,,则,故顾客甲第二次去餐厅用餐的概率为0.72.（4分）（2）求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；解:从8张奖券中任选3张有种方法,取到的折扣均不相同的取法有种,（6分）所以一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率为.（7分）（3）若自助餐的原价为100元/位,记一位顾客最终结算时的价格为,求的分布列及数学期望.解:的所有可能取值为80,85,90,95,,,,,（11分）所以的分布列为80859095所以.（15分）17.（本小题满分15分）如图所示,四边形是圆柱底面的内接四边形,是圆柱的底面直径,是圆柱的母线,,.（1）当时,求直线到平面的距离；解:因为平面,所以,因为,,,平面,所以平面,（1分）所以,因为,所以,所以平面,且平面,所以直线到平面的距离等于点到平面的距离.（3分）过点作于点,因为平面，平面，所以,又,,平面,所以平面,（5分）因为,,所以,,所以,所以直线到平面的距离为.（7分）（2）若,点在线段上,且,求平面与平面夹角的余弦值.解:以为坐标原点,,,方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,由，，得，，，,，所以，.（9分）设平面的法向量为，则，即，取，则,，所以，（11分）易知平面的一个法向量为.（12分）设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（15分）18.（本小题满分17分）已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为.（1）求的方程；解:双曲线的渐近线方程为，所以，①（1分）因为的焦距，所以，则，②由①②解得,，（3分）所以的方程为.（4分）（2）若直线与的右支交于，两点.解:设,,联立，得，则，，且，所以,.（7分）（ⅰ）求的取值范围；[答案]因为直线与的右支交于两点，所以，解得，所以的取值范围为.（10分）（ⅱ）记点在直线上的射影为点，证明：直线过定点.[答案]由题意得，易得，（13分）直线的方程为，又，所以，所以直线过定点.（17分）19.（本小题满分17分）已知函数.（1）当为奇数时，证明:的图象关于点对称；解:由题得，因为为奇数，所以，即，所以的图象关于点对称.（3分）（2）当时，，求的取值范围；解:令，，则，①当时，显然有，所以成立；（5分）②当时，当时，因为，所以，即在区间上单调递减，所以当时，，即，所以，不满足题意；（6分）③当时，当时，因为，所以，即在区间上单调递增，当时，，即，当时，因为，所以，即在区间上单调递减，所以的最大值为，所以，即，所以，符合题意.综上，的取值范围为.（9分）（3）证明:当时，.解:由（2）可知，当时，，因为，显然，且，所以，（11分）当时，显然成立；（12分）当时，因为，所以，（13分）即.综上，当时，.（17分）