2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（六）本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若,则的虚部为()A. B. C. D.任意实数[解析]由题得,所以的虚部为.故选B.√2.已知集合,,且,则()A.2 B. C.1 D.[解析]因为,所以,解得,此时,,符合条件.故选B.√3.双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D.[解析]的渐近线方程是,即.故选C.√4.已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为()A. B.C. D.[解析]由图象关于轴对称,即为偶函数,排除C；当,.选项A,D中,当,,故排除A,D；选项B中,当,.故选B.√5.在平行四边形中,,若,则四边形的面积为()A.2 B. C.4 D.[解析]因为,所以平分,所以平行四边形为菱形,由两边平方,得,所以,所以,因为,所以四边形的面积为.故选B.√6.已知椭圆的左、右焦点分别为,,为第一象限内上一点,若,,则的离心率为()A. B. C. D.[解析]在中,由正弦定理得.故选B.√7.已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为()A. B. C. D.√[解析]由，得或.当时，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，且当时，，当时，；结合图象可知，只有1个实根，此时有1个零点，因为恰有4个不同的零点，所以关于的方程有3个不同的实根，结合图象可得.故选C.当时，单调递减，所以，且当时，，作出的图象如图所示，8.从球外一点作球表面的四条不同的切线,切点分别为,,,（按顺时针方向排列,且位于同一个平面内）,若,,,当四边形的面积取最大值时,球的表面积为,则()A.4 B. C. D.√[解析]根据圆的切线长定理,,因为,,所以,,所以为直角三角形,其外接圆的半径为,当四边形的面积最大时,,,所以,作出截面如图所示,,,,则,,又,则,所以,所以.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.若,,,,,则()A. B. C. D.[解析]因为,所以,所以A正确；因为,所以,因为,所以,所以B错误；因为,,所以,所以C正确；令,,,,满足,,,,,但,,此时,所以D错误.故选.√√10.若函数,则()A.的振幅为2 B.的初相为C.为奇函数 D.在上单调递增[解析]A显然正确；对于B,的初相为,B错误；对于C,为奇函数,C正确；对于D,,,因为在上单调递增,所以由复合函数单调性的判断法则,得在上单调递增,D正确.故选.√√√11.设定义在上的函数与的导函数分别为和,且,,且的图象关于点对称,则()A. B.C. D.√√√[解析]因为的图象关于点对称,所以,令,可得,所以A错误；因为,所以,所以,又,所以,所以,所以B正确；因为,所以,所以（为常数）,因为,所以,所以,令,可得,所以,所以,故C正确；由,得的图象关于直线对称,则为周期为4的周期函数,则,因为,所以,所以,所以,故函数为周期为4的周期函数,所以,所以D正确.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若,,则____.[解析]因为,,所以.13.若,,,,五人准备去甲、乙、丙、丁四个目的地旅游,且每个人只去一个目的地,则不同的选择方案种数是_______,这五个人恰好选择了其中的两个目的地的方案种数是_____.（用数字作答）（本题第一空2分,第二空3分）1024180[解析]不同的选择方案种数是,这五个人恰好选择了其中的两个目的地的方案种数是.14.对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样的一类数列称为周期数列，其中是数列的一个周期，已知数列是周期数列，其中一个周期为3，其前项和记为，且,,，若不等式对一切正整数恒成立，则的取值范围为________.（用区间表示）[解析]因为数列是周期为3的周期数列，且,,，所以,，因为对一切正整数恒成立，所以,当时，，故只需即可；当时，，故只需即可；当时，，故只需即可.综上，的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；解:因为，所以，所以，（4分）因为，所以.（6分）（2）若.（ⅰ）求外接圆的半径;[答案]设的外接圆半径为，由正弦定理得，（7分）因为，，所以的外接圆半径.（9分）（ⅱ）若，求的面积.[答案]由余弦定理得,即,解得，所以的面积为.（13分）16.（本小题满分15分）如图,在正六棱柱中,为的中点,,的中点分别为,.（1）证明:平面；解:因为,的中点分别为,,所以,（3分）因为,,,不共面,所以平面,因为平面,所以平面.（6分）（2）若,,求直线与平面所成角的正弦值.解:连接,易得,以为坐标原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,（9分）设平面的法向量为,则,令,则,,所以,（12分）设直线与平面所成的角为,则,,所以直线与平面所成角的正弦值为.（15分）17.（本小题满分15分）小张准备参加某公司的招聘考试，该公司的（人力资源部）准备了难度相当的卷和卷.卷、卷的选择用“抽小球”的方式决定:现有一个箱子，里面装有质地、大小完全相同的3个标有字母的球和2个标有字母的球，从中任取3个小球，若小张取出的球比球多，则用卷，否则用卷.卷又有,两套，从中选一套进行测试；卷也有,两套，从中选一套进行测试.若小张选择了卷，选用卷对小张测试的概率为，若小张选择了卷，选用卷对小张测试的概率为0.6.（1）设小张同学抽到球的个数为，求的分布列及数学期望；解:由题得的可能取值为3，2，1，（1分），，，（4分）所以的分布列为:321故.（6分）（2）求小张使用卷进行测试的概率；解:设事件表示使用卷，则表示使用卷，由题意得，所以小张使用卷进行测试的概率为.（9分）（3）求小张使用卷或卷进行测试的概率.解:设事件表示选用卷或卷，由题得，则小张抽得卷后选用卷的概率为，小张抽得卷后选用卷的概率为，（12分）所以小张使用卷或卷进行测试的概率为，所以小张使用卷或卷进行测试的概率为.（15分）18.（本小题满分17分）已知函数，.（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；解:由题得，因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，（2分）当时，，所以，即的取值范围为.（3分）（2）令，为的导函数.若在区间上恰有两个不等的实根,.解:由题得.（ⅰ）求的取值范围；[答案]由已知得，设，则，当时，，则单调递减，即单调递减，当时，，则单调递增，即单调递增，故，（7分）当时，;当时，,因为在上有两个不同的解,，所以，解得，即的取值范围为.（9分）（ⅱ）证明:.[答案]不妨设，则，，即,，（10分）要证，即证，设，则，（11分）设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递减，因为（1）（1），所以，即，其中，（13分）因为，所以，因为，所以，（15分）因为，所以，又，由①中在上单调递增，得，即得证.（17分）19.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中,抛物线的方程为,直线与交于,两点.构造点列如下:设的坐标为,直线,与的另一个交点分别为,,直线与轴的交点为,设点的坐标为.（1）的面积是否可以为？请说明理由；解:由题得经过的焦点,设,,联立,得,,则,,（1分）所以,当且仅当时,的面积取得最小值为,所以的面积不可以为.（3分）（2）用,表示直线的方程；解:由题可知,,当时,两式作差可得,即,即,所以直线的方程为,整理得；（5分）当时,,此时直线的方程为,把代入中,得,所以,综上,直线的方程为.（7分）（3）设的面积为,求的最大值.解:不妨设在轴上方,在轴下方,同理得的方程为,的方程为,令,可得,（9分）由,可知,在的方程中,令,可得,因为,所以,（12分）由,得,因为,,所以,所以,（15分）对两边同时取对数,得,即,由题可知,所以，所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,所以,解得,（16分）所以,所以,因为,所以.（17分）