2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若，则在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限[解析]由题得，所以，它在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选B.√2.设集合，，若，则()A. B. C. D.[解析]由已知得，若，则.故选C.√3.若函数在上单调递增，则的取值范围为()A. B. C. D.[解析]函数在上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，故.故选D.√4.在中，点在边上，，则的最大值为()A. B. C. D.1[解析]由点在边上，得，又,，所以，当且仅当时等号成立，所以.故选A.√5.某单位举办了一次学习强国知识竞赛（满分:100分），参加竞赛的职工共有30人，其中男、女职工人数相等，他们竞赛得分的总平均值是90，男职工得分的平均值和方差分别是88和2，女职工得分的平均值和方差分别为92和，则该单位所有参赛职工得分的方差为()A.5.4 B.5.6 C.5.7 D.5.9[解析]设所有职工得分的平均值和方差分别是和，其中男职工得分的平均值和方差分别是和，女职工得分的平均值和方差分别是和，由方差公式可得.故选C.√6.如图，将函数的图象向右平移得到的图象，其中点是图象上的最高点,，分别是,的图象与轴的相邻交点（如图所示），若，则()A. B. C. D.[解析]将的图象向右平移个单位得的图象，结合图象可知，因为，所以，故，解得，则，故.故选A.√7.已知正四棱锥的各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，若该球的表面积为，则该正四棱锥的高为()A. B. C. D.[解析]设，底面的中心为，连接，则，设球的半径为，由球的表面积为,得，由等体积法得，即，解得，故该四棱锥的高为.故选B.√8.已知函数有且仅有3个零点，则的取值范围为()A. B. C. D.√[解析]由题得直线与函数的图象有且仅有3个交点，因为的定义域为，且，所以为奇函数.因为，所以在区间上单调递减，且曲线在点处的切线方程为.因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，；当时，，作出的图象，如图:由图知,当时，直线与函数的图象有且仅有3个交点，故的取值范围是.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知的展开式中各项系数的和为64，则()A.B.展开式中常数项为540C.展开式中含项的系数为135D.展开式中各项系数的绝对值的和为4096√√√[解析]对于A,令，得，则，故A正确；对于B,的展开式的通项公式为,当时，，所以的展开式中常数项为，故B错误；对于C,当时，，所以的展开式中含项的系数为，故C正确；对于D，的展开式系数的绝对值的和可看作是的展开式中系数的和，令，的展开式中系数的和为，故D正确.故选.10.椭圆具有对称美，受到设计师的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”.已知“斜椭圆”的方程为，其左、右焦点分别为,，设在上，则()A.的长轴长为B.的焦距为4C.若，则的面积为2D.√√√[解析]设的长轴长为,短轴长为,焦距为.由方程可知，关于直线与对称，且关于原点对称，故的中心为，顶点为与直线，的交点.由，得，所以的其中2个顶点为，，由，得，所以的另外2个顶点为和，易求得，，所以,,，故长轴长为，A错误；焦距，B正确；将该椭圆还原成焦点在轴上的标准椭圆，其方程为，设该椭圆焦点分别为,，点在该椭圆上，则,又由椭圆定义可知，，即，解得，又，所以的面积为，故C正确；，由椭圆的性质可知，当点为长轴的端点时，取得最大值,当点为短轴的端点时，取得最小值，故D正确.故选.11.已知函数对任意实数,都有，且，则()A. B.C.是一个周期为4的周期函数 D.√√√[解析]由，得，令，得，则，A正确；令，得，因此，则，于是得，即，，即函数是周期为8的周期函数，C错误；,B正确；又,，,，，即，因此，D正确.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知在等比数列中，，，则数列的公比为___.2[解析]设公比为,则，解得.13.汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼.在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种不同的馅:绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头,小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随机取的4个汤圆中，吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆恰有4种馅的概率为___.[解析]记事件为“小王随机取的4个汤圆中有1个芋头馅的汤圆”，事件为“小王随机取的4个汤圆中恰有4种馅”，所以,，所以.14.已知抛物线的焦点为，直线经过点交于,两点（点在第一象限），且,两点在的准线上的投影分别为,，准线与轴的交点为，分别记与的面积为,，若，则直线的斜率为____.[解析]由题得，所以，所以.如图，过点作于点，所以，设,则,则，所以，所以，所以直线的斜率.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）激光一体机是一种功能强大的办公设备，与传统的激光打印机相比，激光一体机还集成了复印、扫描等多种功能，因此比传统的激光打印机更实用，从而近几年在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的近5年该市激光一体机的销量，其中为年份代号，（单位:万台）代表年销量.年份2021年2021年2022年2023年2024年年份代号12345年销量万台0.50.911.21.4（1）经过分析，与线性相关，试求关于的经验回归方程；解:,,（1分）则,（4分）,（5分）所以关于的经验回归方程为.（6分）（2）利用（1）中所求方程，预测2025年该市激光一体机的销量；解:2025年对应的年份代码为6，当时，（万台），故可预测2025年该市激光一体机的销量约为1.63万台.（9分）（3）某中学准备选购某型号的激光一体机供各办公室使用，下表是以往这种型号的激光一体机的使用年限（整年）统计表:使用年限1年2年3年4年5年该型号激光一体机（单位:台）515201050激光一体机使用年限越长，办公费用越低.以使用年限的频率估计概率，求该型号激光一体机使用年限的分布列及数学期望.参考公式:，.参考数据:,.解:以频率估计概率，该型号激光一体机的使用年限的分布列为:123450.050.150.20.10.5（11分）.（13分）16.（本小题满分15分）记数列的前项和为,已知,.（1）求数列的通项公式；解:因为，所以，当时，,两式相减得，整理得,即，（4分）又，所以数列是以9为首项，为公差的等差数列.（5分）所以.（6分）（2）若，求数列的前项和;解:由（1）得，（7分）由，解得.所以当时，.（9分）当时，.（10分）所以（11分）（3）记，求数列的前项和.解:,（13分）所以.（15分）17.（本小题满分15分）已知函数，且在处取得极值.（1）求的值及的单调区间；解:由题得，由，解得，（2分）此时，，令，得，令，得，故0是函数的极值点，故符合要求，（4分）函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（5分）（2）若存在,使得，求实数的取值范围.解:由,可得，则，（7分）令,则，令，则，（10分）故当时，,单调递增；当时，,单调递减，而,，且时，，故当时，，当时，，（12分）故在上单调递减，在上单调递增，故，因此，解得，所以的取值范围为.（15分）18.（本小题满分17分）已知双曲线的左、右焦点分别为,,,且点到的渐近线的距离为,,为上在轴上方的两点.（1）求的方程；解:由题意知,得.（1分）因为点到直线的距离为,所以,又因为,所以,,（2分）所以的方程为.（3分）（2）记的左顶点为,若直线与轴平行,证明:直线,的斜率之积为定值；解:由（1）知,设,则，,所以,（5分）因为,所以,所以直线,的斜率之积为定值.（6分）（3）若,求四边形面积的取值范围.解:根据对称性，设点在的左支上，点在的右支上.如图所示,延长交于点,延长交于点,因为,所以四边形为平行四边形,且面积为四边形面积的2倍,（7分）易知直线斜率不为0.设,,直线,,由,消去可得,恒成立,所以,，（9分）所以,且,（11分）因为,所以.（12分）因为直线与间的距离为,（13分）所以,（15分）令,,所以,因为在上单调递减,且,所以在上单调递增,当,即时,四边形的面积取得最小值,最小值为48,所以四边形面积的取值范围为.（17分）19.（本小题满分17分）如图，四边形是边长为2的正方形，点，分别在线段，上运动，且.将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面平面.（1）当为的中点时，（ⅰ）证明:；解:当为的中点时，为的中点，此时，，.如图，取的中点，连接，，则，，又,,平面,所以平面，又平面，所以.（4分）（ⅱ）求点到平面的距离.解:设点到平面的距离为,，因为平面平面,平面平面,，所以平面,因为平面,所以，则，所以，所以,.（7分）由，得，所以，即点到平面的距离为.（8分）（2）证明:存在点，使得二面角的平面角为.[答案]如图，以点为坐标原点，,所在直线分别为,轴建立如下图所示的空间直角坐标系，过点在平面内作，连接，由已知可得，，，，故，则，即，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，设，，则，，因为,则，，易得，则点，，，，，设平面的一个法向量为，则，（12分）令，可得，易知平面的一个法向量为，,因为，令,，可得，即，（14分）所以，令，令，易知函数在上连续，因为，，由零点存在性定理可知，存在，使得，因此，存在点，使得二面角的的平面角为.（17分）