四川省绵阳市高中2022级第三次诊断性考试数学答案

绵阳市高中2022级第三次诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．BABCDACC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．ACD 10．AB 11．AB三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．−8 13．0.42 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）设数列公比为，由，，成等差数列得：， 3分∴，即：，可得， 5分数列{an}的通项公式为：； 6分（2） 7分 8分 9分 11分（或）． 13分16．解：（1），令， 1分∵函数在处取得极值．∴，则， 2分， 3分令，可得，或， 4分，，单调递增；，，单调递减； 5分，，单调递增， 6分∴的极小值为； 7分（2）由（1）可知在[1，2]上单调递减， 8分∴，， 9分∴， 10分∴ 13分∴当，． 15分17．解：（1）梯形中DA，CB，EF不平行，延长D1A1，CB，EF，记，，∵， 2分∴△MFD1≌△NFC，则FM=FN，即M，N重合， 3分∴，所以A1，B，D1，C四点共面； 4分（2）∵平面A1EFD⊥平面BEFC，面面，，∴D1F⊥面，则D1F⊥面CF， 5分易知FE，FC，FD1两两垂直，不妨以F为坐标原点，以FE，FC，FD1分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 6分不妨设A1E=BE=a，则，，，C(0，a+1，0)，D1(0，0，a+1)，则，， 7分由可知，，可解， 8分∴； 9分（3）∵平面面，记面面，在平面EFP内过点E作直线m⊥l，∴， 10分又∵面，∴，且面，面，∴面，∴，在等腰直角三角形△D1FC中FP为中线，即点P为CD1的中点； 11分由第（2）问可知，，C(0，3，0)，则， 12分不妨设平面BFP的法向量为n=(x，y，z)，取平面BEFC的法向量为m=(0，0，1)平面BFP与平面BEFC所成角为，即，不妨取， 13分则， 14分∴平面BFP与平面BEFC夹角的余弦值为． 15分18．解：（1），则即a=1， 1分又，解得， 2分∴双曲线C的方程为． 3分（2）方法一：设，则由，可得：， 4分又点T在双曲线C上，则，化简整理得：， 5分又，均在双曲线C上，则，，代入上式整理得：……=1\*GB3\*MERGEFORMAT①， 6分易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，设直线l1方程为，则，代入①得：……=2\*GB3\*MERGEFORMAT②联立，得：， 7分由韦达定理可得：， 8分代入=2\*GB3\*MERGEFORMAT②式得：， 9分解得：，即，此时，则直线l1与双曲线C右支有两个交点，即直线l1方程为； 10分方法二：易知直线l1的斜率为0时，不符合题意，设直线l1方程为，，MN的中点为P(x0，y0)，联立，得代入①得：， 4分由韦达定理可得：， 5分∴，， 6分则由=∴， 7分代入双曲线C的方程可得：，∴， 8分∴，或， 9分当时，直线l1与双曲线的渐进性平行，不符合题意，∴直线l1方程为； 10分（3）设直线l1方程为，直线l2方程为，由，则，即， 11分∴，，则(当且仅当时取等号)设，，，，则，同理可得：， 12分故，同理：，∴……=3\*GB3\*MERGEFORMAT③ 13分联立得：，由韦达定理可得：，同理可得：，代入=3\*GB3\*MERGEFORMAT③得：== 14分令，则， 15分令，则在区间[6，10)上单调递增，∴， 16分故当，时，的最小值为． 17分方法二：（当且仅当，时，等号成立）， 16分∴的最小值为． 17分19．解：（1）当n=3时，巴士从(0，0)行驶到(2，1)时，共有种行驶路线；从(2，1)行驶到(3，3)时，共有种行驶路线； 2分因此经过(2，1)的行驶路线共有种； 4分（2）（i）方法一： 除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点． ∴巴士第一步必然到达(1，0)或(0，1)格点，且必然从(4，3)或(3，4)到达终点．在这个过程中既不会穿过AB对角线，也不会到达对角线上的格点． 5分 考虑对称性，不妨先计算从格点(1，0)到达格点(4，3)，且不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点的路线总数． 6分 假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含3个1与3个−1的序列a1，a2，…，a6．行驶路线不经过(1，0)与(4，3)连线上方格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即．根据题意，满足条件的路线总数应为种． 8分从而从格点(0，1)到达格点(3，4)，且不经过(0，1)与(3，4)连线上方格点的路线总数也为5种．因此游客游览了7个景点的路线总数为10种． 9分方法二：当n=4时，巴士总共有种行驶路线， 5分除去起点A与终点B外，巴士一定会经过7个格点，若游客恰好游览了7个景点，说明巴士一定不经过AB对角线上的格点，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，设经过格点C(1，1)，D(2，2)，E(3，3)分别为事件C，D，E，则经过格点C的路线总数为种，经过格点D的路线总数为种，经过格点E的路线总数为种，经过格点C与格点D的路线总数为种，同理种，种，经过格点C，D，E的路线总数为种， 7分因此经过格点C或格点D或格点E的路线总数为：， 8分用韦恩图可如上图表示，故游客恰好游览了7个景点的路线总数为种； 9分（ii）要保证游客能够分别浏览两个景区至少1个景点，即行驶路线必须穿过对角线AB．不妨先考虑只经过AB及其右下方格点的行驶路线，设总数为R(n)， 假设向右行驶记为1，向上行驶记为−1，那么每条行驶路线实际唯一对应一个含n个1与n个−1的序列a1，a2，…，a2n．行驶路线不经过AB左上方的格点，等价于对任意前k段，向右行驶的段数都不小于向上行驶的段数，即， 10分由题意 11分 12分∴行驶路线不经过AB右下方格点的种数也应为，∴行驶路线穿过对角线AB的种数为，故．只需证：，n≥5． 13分当n=5时，，上式显然成立．当n≥6时，令，显然，． 14分且，∵()，当且仅当时取等，不难知，故， 15分所以， 16分即，综上所述：． 17分（注：也可以假设，对整理后的一元二次不等式进行验证）