江西省景德镇市2025届高三下学期4月三模试题 数学 PDF版含答案

景德镇市2025届高三第三次质检试题数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．12345678BCBDDCBD1．B【解析】由题知，则，故选B．2．C【解析】，∴，表示在复平面内与对应的两点之间的距离，∴的最大值是3，故选C．3．B【解析】由函数奇偶性定义可知，故选B．4．D【解析】对于A，也可能，A错误；对于B，可能相交，B错误；对于C，显然不能推出，C错误；D正确，故选D．5．D【解析】，∵，∴，即，解得，∴，故选D．6．C【解析】如图，，，∴．又，∴，根据勾股定理．在中，根据正弦定理可知，即，解得，故选C．7．B【解析】∵，∴，且，解得．∴．∴设切点横坐标为，∴切线方程为．将代入切线方程得，∵，∴对于斜率最大得切线，切点，∴，①正确．分别过向轴引垂线分别与斜率为的切线交于两点，由图易知，而，∴，即，②错误．故选B．8．D【解析】将与的方程联立，得，动圆的方程为，∴切线长，即的轨迹是以为圆心为半径的圆，设线段中点为，∵，而（不能三点共线），∴的最大值是，故选D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．91011CDABDAC9．CD【解析】令代入解得，解得，A错误；∵，∴，B错误；由可知，解得，C正确；，当且仅当时取等号，D正确．故选CD．10．ABD【解析】设点，，解得．又，∴点，直线的斜率为，直线的倾斜角为.A正确；设点，，的方程为，联立，消去可得．则，，所以，的斜率之和为，B正确；若，则，即，∴，经验证不符题意，C错误；，D正确．故选：ABD．11．AC【解析】∵，令，∴．当时，，∴，A正确；注：．当符合题意，但不为周期函数，B错误；∵当时，单调递增，且，∴当时，，∴当时，，C正确；如右图为函数当时的部分图象，显然该函数符合题意，但，D错误．故选AC．第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．12．13．14．12．【解析】∵的最小正周期为，∴，，∴，∵，∴，∴，，故在区间上的值域为．13．【解析】由正弦定理可得，解得，易知当时，△面积取得最大值为．到平面的距离为，直线与平面所成角为，由可知是以为顶点的等腰直角三角形，当该面垂直于平面时，点到平面的距离最大，最大距离为，∴三棱锥体积的最大值为．14．【解析】事件即“在第6次在的条件下第3次不在”，根据贝叶斯公式可得．我们将三个点看作为一个整体，如果某次在，则下次一定不在；如果某次不在，则下次在与不在的概率分别为与．∴，，∴．四、解答题：本大题共5小题，满分77分．15．（本小题13分）解：（1）∵，解得．又，解得．又，，得，∴或，∴或．…………………6分（2）∵为递增数列，则，，，…………………………………7分∴……①，……②，两式相减得：．………13分16．（本小题15分）解：（1）证明：（1）∵，为的中点，∴．又∵，为的中点，∴，．∴平面．……………………………………………………………………………3分∵平面，∴平面平面．……………………………………………5分（2）如图以为坐标原点，分别以为轴、轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系．…………………………………………………………………6分取中点，连接，∵，∴．由上问可知平面，∴，故平面．………………………7分∵，，∴．又，∴．……………8分∴，,,，…………………………………………9分设平面的法向量为，∴，令，则．…………………………11分同理可求得平面法向量，………………………………………………13分∴，………………………………………………………………14分∴平面与平面的夹角的正弦值是.………………………………………15分zxEy17．（本小题15分）解：（1）由，解得．……………………………………………………………………………………………………2分……………………………………………………………………………………………………4分（2）由频率分布直方图可知，与的用户数之比为3：4，所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，可取0，1，2,,所以的分布列为012………………………………………………………………………………………………8分所以………………………………………………………………………………………………10分（3）用样本的频率估计概率，从该公司所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为所以，解得：，又，故时概率最大………………………………………………………………………………………………15分18．（本小题17分）解：（1）设（），由的离心率为，得，，①………………1分在中，令，得，则当垂直于轴时，，②……………………………………………………3分由①，②，解得，则，，∴的方程为．………………………………………………………………………4分（2）由题意，知，，显然与轴不重合，可设：，设，，联立，消去x并整理，得，由韦达定理，得，，………………………………………6分则，则△面积，…………………………………………8分而，当且仅当，即时等号成立，∴△面积的最大值为.…………………………………………………………………10分（3）设，，，直线与椭圆联立可得，，………………11分根据韦达定理可得，，∴，，即，同理，，……………………………………13分根据对称性，直线过定点，则，∵，，∴，∴，解得，即直线过定点.…………………………………………………………………17分19．（本小题17分）解：（1）当时，，，令解得或．………………………………………………………………2分当时，∴在区间上单调递增，同理在区间上单调递减，在区间上单调递增．∴的单调递增区间是和，的单调递减区间是.………………………………………4分（2）设，，过点的切线方程为，当切点为原点时，，此时切线方程为；…………………………5分当切线经过原点时，∵，将原点代入，并整理得，∴，其中．当为奇数时，，当为偶数时，，………………………7分即经过坐标原点与的导函数图象相切的直线方程为：，切点横坐标为；，切点横坐标为，，，切点横坐标为，．…………………………………9分（3）∵，∴，当时，，即在区间上单调递增，又，∴此时，在区间上无零点．……………………………………………………………………………………………………11分当时，令解得，假设，∴或．当时，∴单调递增，同理当时单调递减，当时单调递增．∵，且在上单调递减，要使得在区间上存在零点，则，解得．…………………………………………………14分∴在区间上单调递减，∴，且在上单调递增，要使得在区间上存在零点，则，解得．综上所述，的取值范围是．………………………………………………………17分