2023届陕西金太阳1月联考高三上学期一模数学(理科)试题

高三数学试卷参考答案!理科!!#因为$!%&'##$!(!!#所以)#$!!*+#!%!,$##($$#%$$##)$$#$$$##!*!#因为%&$'-所以&$*&所以抛物线'%$('-(的准线方程为($!+!!(%(+&%)/%(+&!(%(+&%))!&!.!(+)+%(+*)$)%(+&%)$$!!(%(+&-%%!#由*%(&$012%((012&%()%3&$3得012&($012&%()%3&%(%3&则($()%3解得($或($(&又(%3所以($!'!4设该正四棱柱的底面边长为+高为,则球$的直径为槡+%)+%),%$槡*)*)!3$&故球$的体积&!&**%!为/%&$!*%*++*+!.先排+位学员共有.+种排法再从-个空位中选*个安排给*位摄影师故不同排法数为.+.-!((!!!*-!,因为567!$567%!)(&$$&&&!)%(&*!)%897%!)*:18%!897%!)&897!:18!)&:18%!897!)%:18!567!)%所以$$&&$&&$*!槡!(%897%!)*:18%!槡897%!(&897!:18!)&:18%!897!(%:18!567!(%;!4因为'<$*(%)%+(所以当($!时'<$%+)*!若曲线'$(*)+(%在点%!+)!&处的切线的倾斜角大*于&=则%+)*%!或%+)*'3解得+%(!或+'(!由几何概型可知曲线'$(*)+(%在点%!+)!&%*((%(%&)(%(!&%!*处的切线的倾斜角大于&=的概率为$!(%(%&!&!;!!!%!!3!4因为((%!&所以'())'(%'!))''!))'&!!-***!!!!3!%!%!!!!因为3''所以)'(%&)'(%&%******!;!!!%!*!*!!%!!!!又*%(&在%!&上单调所以))'')')或))'')')或))''!-%**%%**%%*%!+!)')*%!!+!!!!!*!!+!所以的取值范围是'(*'(*'(!*'*'*'*'*'*'!!!.不妨设&-.&$*/&-0%&$&/%/%3&因为-在以0!0%为直径的圆上所以-0!+-0%即-.+-0%则&.0%&$/!因为.在%的左支上所以&.0%&)&-0%&(&-.&$&.0%&(&.0!&)&-0%&(&-0!&$'/%1槡!+$&+得%+$*/则&-0!&$&-0%&(%+$/!因为-0!+-0%所以&0!0%&$%1$槡!+/故2$$!%+*%+%+**(*(%%*((07%&*!%!,+$0-$$*!令*%(&$(则*3%(&$(,&!*!!32-%%%07%**当('时*3%(&%3则*%(&在%(>&上单调递增所以*%*!!&%*%*&即4%+!07%07%%+!3;%+/**(!3;/-!;因为+(1$($$%3所以+%1!-**-/**-/**故4%+%1!!*!+%!)*9&%!)%9*&$%!)*9&%!(%9&$+)9!!&!'(!!!!(作出约束条件表示的可行域%图略&当直线5$((%'经过点%*(&&时5取得最大值且最!!高三数学参考答案第!页#共页$理科!%书大值为!!当直线5$((%'经过点%(*&&时5取得最小值且最小值为(!!!故5$((%'的取值范围为'(!!!!(!*!!不妨设-+底面#%6则与-垂直的有&条与-#垂直的有%条与-6垂直的有%条#++&)%)%)&*#%#+6%6+#%%6+6故所求概率为%$!#-+!'!%被*除余!且被&除余%的正整数按照从小到大的顺序排列构成首项为!3公差为*/&$!%的等差%%!3)!%)(%&)%7));''))&));';'数列则+)$!3)!%%)(!&$!%)(%7)$$'))&)从而$$'))%)));';'7));')&-%')))&$%当且仅当')$即)$&时等号成立故的最小值为%!槡)))!+!解*%!&由正弦定理得897897%%)897%!(:18%&%$897……………………………………………%分又由3''!可得897%3所以897%%)%!(:18%&%$!……………………………………………*分!即%(%:18%$!解得:18%$…………………………………………………………………………分%!因为3'%'!所以%$!…………………………………………………………………………………'分*%%&由%!&及余弦定理有1%$+%)4%(+4!……………………………………………………………………+分因为1是+4的等比中项所以1%$+4代入上式有+%)4%(+4$+4解得+$4………………………;分又1%$+4所以+$4$1*1$'可得1$%………………………………………………………………!3分1%%槡*故.#%外接圆的半径为$$!………………………………………………………!%分%897%!*%897*!-!解*%!&因为%3?3%)3?!%&/%$3?*'3?3?*)3?%33/%$3?+%3?………………………………%分所以该产品这一质量指数的中位数在'!&!'&内!…………………………………………………………*分设该产品这一质量指数的中位数为8则%8(!&&/3?%)3?*$3?解得8$!!……………………分%%&由题意可知抽取的!%件产品中这一质量指数在'!'!-&内的有-件这一质量指数在'!-%3(内的有&件!……………………………………………………………………………………………………………'分由题意可知9的所有可能取值为3!%*&!&*!%%!*#-!&#-#&%%&#-#&'#-#&*%-%9$3&$&$-%9$!&$&$-%9$%&$&$-%9$*&$&$-%9$&&$#!%;;#!%&;#!%!'#!%&;&#&!&$……………………………………………………………………………………………………!3分#!%&;9的分布列为93!%*&!&%%&'*%!-;;&;!'&;&;………………………………………………………………………………………………………………!!分!&%%&'*%!&:%9&$3/)!/)%/)*/)&/$!……………………………………………!%分;;&;!'&;&;*!;!%!&证明*因为-+平面#%66:+平面#%6所以-/6:!……………………………………!分因为底面#%6为矩形所以#/%6!……………………………………………………………………%分因为%606:$6所以平面%6:/平面-#!…………………………………………………………*分又%:1平面%6:所以%:/平面-#!…………………………………………………………………&分!!高三数学参考答案第%页#共页$理科!%%%&解*以为坐标原点$##的方向为(轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标#系则%333&%%%3&:%3(*&!………………………………………分$#$#因为0在6上的投影为*所以0的坐标为%3*%&!…………………………'分$设平面%0的法向量为!$%('5&$#%$%%3&$#0$%3*%&!%%()'$3*则!)$#%$!)$#0$3即…………………………………………+分!*')%5$3(&)令'$%得!$%(%(*&!……………………………………………………-分'设平面%:的法向量为$%(3'353&$#%$%%3&$#:$%3(*&%(3)'3$3则)$#%$)$#:$3即…………………………………………………………………;分!'3(*53$3令'3$'得$%(!'!3&!……………………………………………………………………………!3分+)!%(*3*槡*-由:18+!,$$……………………………………………………………………!!分槡*'!/槡*-*-*槡*-得平面%0与平面%:所成锐二面角的余弦值为!……………………………………………!%分*-%3!解*%!&设%的半焦距为1由&0&$%(槡*�&$%)槡*可得+(1$%(槡*+)1$%)槡*则+$%1$槡*…………………………………………………………%分因为4%$+%(1%$!…………………………………………………………………………………………*分(%所以%的方程为)'%$!!…………………………………………………………………………………&分&%%&由题意知直线;的斜率不为3则不妨设直线;的方程为($8')<%<2%&!………………………………………………………………分(%4)'%$!联立3&消去(得%8%)&&'%)%8<')<%(&$35($8')<#$&8%<%(&%8%)&&%<%(&&%3化简整理得8%)&%<%!(%8<<%(&设=%(!'!&>%(%'%&则'!)'%$%'!'%$%!……………………………………………+分8)&8)&因为#=+#>所以#$#=)#$#>$3!$#$#因为#%%3&所以#=$%(!(%'!&#>$%(%(%'%&得%(!(%&%(%(%&)'!'%$3将(!$8'!)<(%$8'%)<代入上式%%得%8)!&'!'%)8%<(%&%'!)'%&)%<(%&$3<%(&(%8<得%8%)!&))8%<(%&))%<(%&%$38%)&8%)&'解得<$或<$%%舍去&!……………………………………………………………………………………;分''所以直线;的方程为($8')则直线;恒过点.%3&%!!&%-%%8)&&(*'所以7.#=>$&#.&)&'!('%&$//槡%'!)'%&(&'!'%$%%!%%%槡%8)&&!!-%设&$%则3'&)7.#=>$槡(*'&)%&………………………………………………!3分8)&&%-!易知'$槡(*'%)%在%3(上单调递增%&&&!!'所以当&$时7.#=>取得最大值!……………………………………………………………………!!分&%!!高三数学参考答案第*页#共页$理科!%!又7.#=>$&#=&)&#>&%*%所以%&#=&)&#>&&@6A$%%7.#=>&@6A$!……………………………………………………………!%分%%!!解*%!&由题意可得*3%(&$07(((!!!((设,%(&$07(((则,3%(&$(!$!………………………………………………………………!分((由,3%(&%3得3'('!由,3%(&'3得(%!则,%(&在%3!&上单调递增在%!)>&上单调递减即*3%(&在%3!&上单调递增在%!)>&上单调递减从而*3%(&)*3%!&$(!'3……………………………………………………………………………*分故*%(&的单调递减区间是%3)>&无递增区间!…………………………………………………………&分!(+(%)%+(%&()!(+%()+(!&%((!&%%&由题意可得?3%(&$()+(%)$$!…………………分(((当!(+'3即+%!时由?3%(&%3得(%!由?3%(&'3得3'('!则?%(&在%3!&上单调递减在%!)>&上单调递增!因为当(#3时?%(&#)>当(#)>时?%(&#)>!所以?%(&要有两个零点则?%!&$)+(%(!'3解得+'故!'+'!………………………+分%%%!#当!(+$3即+$!时?%(&$(%(((!$3解得($!B槡*%因为(%3所以($!)槡*则?%(&有且仅有!个零点故+$!不符合题意!…………………………-分$当3'!(+'!即3'+'!时由?3%(&%3得3'('!(+或(%!由?3%(&'3得!(+'('!则?%(&在%3!(+&和%!)>&上单调递增在%!(+!&上单调递减!……………………………………;分因为当(#3时?%(&'3当(#)>时?%(&#)>所以?%(&要有两个零点则?%!&$3或?%!(+&$3!!若?%!&$)+(%(!$3则+$不符合题意%%!若?%!(+&$%!(+&%)%+(%&%!(+&)%!(+&07%!(+&(!$3%!!设<$!(+(%3!&则<%)<%(<(